Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

7 Riemanngeometri 109 7.1 Metriker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.1.1 Inledande exempel på metriker . . . . . . . . . . . . . 110 7.1.2 Inbäddningar och inducerade metriker . . . . . . . . . 111 7.2 Konnektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.2.1 Motivering och definition . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Parallellförflyttning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3.1 Geodetisk linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.4 Torsionstensorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.5 Levi-Civita-konnektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.5.1 Geodeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.6 Riemanns kurvaturtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.6.1 Exempel på Riemanns kurvaturtensor . . . . . . . . . 119 7.7 Holonomi, isometri och Killingvektorfält . . . . . . . . . . . . 120 7.7.1 Holonomigruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.7.2 Isometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.7.3 Konforma avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.7.4 Killingvektorfält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.8 Icke-koordinatbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.8.1 Definition av basvektorerna . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.8.2 Transformation av objekt till icke-koordinatbasen . . . 125 7.9 Hodgeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.9.1 Hodgestjärnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.9.2 Adjunkten till externa derivatan . . . . . . . . . . . . 128 7.9.3 Elektromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.9.4 Laplaceoperatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8 Tillämpningar i allmän relativitetsteori 134 8.1 Vakuumlösningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2 Friedmann–Robertson–Walker-lösningen . . . . . . . . . . . . 136 8.3 Härledning av Friedmannekvationerna . . . . . . . . . . . . . 138 III Bilagor 144 A Ordlista 145 A.1 Engelsk-svensk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 A.2 Svensk-engelsk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Algebraiska objekt och mängdlära 148 B.1 Mängder och relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 B.2 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2.1 Additiv och multiplikativ notation . . . . . . . . . . . 149 B.3 Ringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5
B.4 Integritetsområden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 B.5 Kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 C Utelämnade bevis 153 C.1 Tensorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 C.2 Mångfalder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 D Projektets arbetsgång 155 D.1 Bidragsrapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 D.2 Gruppmöten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 D.3 Fackspråkshandledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 D.4 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?