Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

6.4.2 Künneths formel
Künneths formel relaterar kohomologi av två objekt med kohomologi av
deras produkt. Med andra ord kan vi säga att den skapar samband mellan
singulär kohomologi av två topologiska rum, till exempel X och Y med deras
produkt X ×Y . Vad som är intressant är att Künneths formel gäller får båda
kohomologi- och homologiteorier.
I det enklaste fallet är relationen mellan dessa topologiska rum och deras
produkt en tensorprodukt.
Vi låter M vara en produktmångfald definerad som M = M1×M2. Låt vidare
{ω p
i } (1 ≤ i ≤ bp (M1)) vara en bas av Hp (M1) och {η p
i } (1 ≤ i ≤ bp (M2))
vara basen av Hp (M2). Vi noterar att ω p
i ∧ ηr−p
j (1 ≤ i ≤ r) är en sluten
r-form i M. Varje element som tillhör Hr (M) kan fördelas till en summa
av en produkt av elementen Hr (M1) och Hr−p (M2). Vi kan därmed skriva
Künneths formeln
H r (M) =
p+q=r
vilken vidare kan skrivas om med hjälp av Bettitalen
b r (M) =
p+q=r
[H p (M1) ⊗ H q (M2)]. (6.17)
b p (M1)b q (M2). (6.18)
Künneths formeln har den mycket viktiga egenskapen att den gör det möjligt
att relatera kohomologiringar av respektive mångfalder
H ∗ (M) =
m
H r (M) =
r=1
=
H p (M1) ⊗
p
q
m
r=1 p+q=r
H p (M1) ⊗ H q (M2) =
H q (M2) = H ∗ (M1) ⊗ H ∗ (M2). (6.19)
Från denna ekvantion följer en intressant egenskap av Eulerskarakteristiken
som presenteras i exemplet nedan.
Exempel 6.7 (Produkt av Eulerkaraktetistiken). Visa att
χ(M) = χ(M1) · χ(M2)
där M1 = M2 = S 1 och M = T 2 Exemplet baseras på faktumet att om
α ∈ H p (M1) och β ∈ H q (M2) då är α ∧ β ∈ H p+q (M), nämligen för en
torus har vi T 2 = S 1 × S 1 och vidare finner vi att b 0 (T 2 ) = b 0 (S 1 )b 0 (S 1 ) =
1 2 = 1, b 1 (T 2 ) = b 1 (S 1 )b 0 (S 1 ) + b 0 (S 1 )b 1 (S 1 ) = 1 2 + 1 2 = 2, b 2 (T 2 ) =
b 1 (S 1 )b 1 (S 1 ) = 1. Alltså χ(T 2 ) = 1−2+1 = 0 och χ(T 2 ) = χ(S 1 )·χ(S 1 ) = 0.
108