Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Kapitel 7
Riemanngeometri
När vi har begreppet mångfalder kan vi beskriva helt generella rum. De rum
som fysikaliska teorier utspelar sig i är en delmängd av dessa och ett karakteristiskt
drag hos dessa rum är att de har ett avståndsbegrepp. Riemanngeometri
är den del av differentialgeometri som studerar glatta mångfalder
utrustade med en så kallad Riemannmetrik och vi studerar även de så kallade
pseudo-Riemannanska mångfalderna, eller Lorentzmångfalderna. Dessa
är utrustade med andra metriker, så kallade Lorentzmetriker. När vi väl
har ett avståndsbegrepp kan vi härleda många egenskaper hos rummen. Det
som gör denna teori fysikaliskt viktig är att den ger en naturlig matematisk
formalism för Einsteins allmänna relativitetsteori, där den fyrdimensionella
rumtiden inte är plan utan krökt. Bernhard Riemann började utveckla denna
geometri på 1850-talet.
7.1 Metriker
En metrik ger oss en inre produkt på en mångfald vilken vi kan använda för
att generalisera avståndbegreppet. Vi definierar de två sorters metriker vi
nämnde i inledningen.
Definition 7.1 (Riemannmetrik). Låt g vara ett tensorfält av typ (0, 2) på
mångfalden M. Om g i varje punkt p ∈ M uppfyller
gp(U, V ) = gp(V, U) (7.1)
gp(U, U) ≥ 0, med likhet endast för U = 0 (7.2)
för godtyckliga vektorer U, V i p så kallas g en Riemannmetrik.
Vi ser att Riemannmetriker är positivt definita och symmetriska.
Definition 7.2 (Pseudo-Riemannmetrik). Låt g vara ett tensorfält som i
definition 7.1, som i varje punkt p ∈ M uppfyller ekvation 7.1 samt
gp(U, V ) = 0 ∀U ∈ TpM =⇒ V = 0 (7.3)
109