Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Sambanden (5.180) och (5.182) sätts in i definitionen och vi får:
X ′ |ag = La∗X|g = enligt (5.182) = X µ (g) ∂xα (ag)
∂x µ ∂/∂x α |ag =
= X α (ag)∂/∂x α |ag = X|ag
(5.184)
Man kan nu definiera ett invariant vektorfält på hela G genom att välja
någon lämplig vektor V i ett tangentrum och låta avbildningen La∗ definiera
ett vektorfält. Det naturliga valet är att välja en vektor i tangentrummet till
enhetselementet V ∈ TeG och man kan nu definiera ett vektorfält XV för
varje punkt i G
XV |g = Lg∗V (5.185)
vilket automatiskt blir invariant vilket man inser om man skriver
XV |ag = Lag ∗V = (LaLg)∗V = La ∗(Lg ∗V ) = La ∗XV |g
Omvänt definierar ett vänsterinvariant vektorfält X en unik vektor
(5.186)
V = X|e ∈ TeG (5.187)
Mängden av vänsterinvarianta vektorfält på G kommer vi att beteckna
med g och avbildningen TeG → g definerad som V ↦→ XV beskriver en isomorfism
mellan g och TeG. Härav ser man direkt att g är ett vektorrum som
är isomorft med vektorrummet TeG. Vi har nu fått fram det vektorrum på
vilket vi ska definiera en liealgebra. En viktig egenskap hos vänsterinvarianta
vektorfält är att kommutatorn av två vänsterinvarianta vektorfält också är
vänsterinvariant. Med andra ord kan vi visa att g är sluten under liebracketen
om vi låter La∗ verka på den:
La∗[X, Y ]g = [La∗X|g, La∗Y |g] = [X, Y ]|ag
där X, Y ∈ g Vi summerar nu ovanstående i en formell definition:
(5.188)
Definition 5.16 (Liealgebra). Mängden av vänsterinvarianta vektorfält g
över någon kropp K tillsammans med liebracket [, ]: g × g → g som uppfyller
föjande villkor
• skevsymmetri: [a, b] = −[b, a] ∀a, b ∈ g
• Jacobi-identiteten: [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 ∀a, b, c ∈ g
• bilinjäritet: [ax+by, z] = a[x, z]+b[y, z], [z, [ax+by]] = a[z, x]+b[z, y]
∀a, b ∈ K och ∀x, y, z ∈ g
kallas för liealgebran av en liegrupp.
84