Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vidare ger detta
˜X〈w, ˜ Y 〉 = ˜ X(wµ ˜ Y µ ) = ˜ X ν ∂(wµ ˜ Y µ )
∂x ν
= ˜ X ν Y ˜ µ ∂wµ
= (∂wµ
∂xν ∂xν ˜ X ν ) ˜ Y ν
=
(5.75)
eftersom alla partiella derivator av ˜ Y ν försvinner. Det kvarstår då termen
〈w, LX ˜ Y 〉 = { ˜ Y konstant} = 〈w, ˜ X[ ˜ Y ] − ˜ Y [ ˜ X]〉 = 〈w, ˜ X[ ˜ Y ]〉 − 〈w, ˜ Y [ ˜ X]
(5.76)
Nu skriver vi ˜ Y [ ˜ X] på indexform:
˜Y [ ˜ X] = [ ˜ Y µ ∂/∂x µ ][ ˜ X ν ∂/∂x ν ] = ˜ Y µ ∂ ˜ X ν
Helt analogt får vi
Vi har då att
˜X[ ˜ Y ] = ˜ X µ ∂ ˜ Y ν
˜X[ ˜ Y ] − ˜ Y [ ˜ X] = ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ −
Sammantaget har vi nu:
〈LXw, ˜
∂wµ
Y 〉 =
=
∂w µ
∂xν ˜ X ν
∂x µ · ∂/∂xν + ˜ Y µ ˜ X ν ∂ 2 /∂x µ ∂x ν
∂x µ ∂/∂xν + ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ = { ˜ Y konstant} =
∂x ν · ˜ X ν
˜Y µ + w µ ˜ Y µ ∂ ˜ X ν
= ˜ X µ ˜ Y ν ∂ 2 /∂x ν ∂x µ
(5.77)
(5.78)
˜Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ · ∂/∂xν + ˜ Y µ
X˜ ν 2 ν µ
· ∂ /∂x ∂x =
= − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂/∂xν
∂x µ
˜Y µ + 〈w, ˜ µ ∂xν
Y 〉 =
∂x µ
∂wµ
=
∂x µ ∂xν ˜ X ν + w µ ∂ ˜ Xν ∂x µ
˜Y µ
(5.79)
(5.80)
Då LXw i skalärprodukten måste tillhöra dualrummet måste det gälla att
LXw = ∂wµ
∂xν ˜ X ν + w µ ∂ ˜ Xν ∂x µ
Vi kan skriva upp Jacobiidentiteten för Liederivator
(5.81)
[[X, Y ], Z] + [[Z, X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0 (5.82)
Jacobiidentiteten för Liederivator. Det finns 6 permutationer av X, Y och
Z. Betrakta en godtycklig, exempelvis [X][Y ][Z]. Från [[X, Y ], Z] har vi
[X][Y ][Z] och från [[Y, Z], X] har vi −[X][Y ][Z]. Några fler termer med denna
permutation finns inte, vilket ger oss ett nollbidrag. På grund av total
symmetri med avseende på alla permutationer av X, Y och Z måste alla
termer försvinna.
61