Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Nu kan vi skriva en godtycklig linjär avbildning f = fi ∗i och
f() = f ∗i (v j j) = fiv j ∗i (j) = fiv i
Man kan alltså betrakta f på som en inre produkt mellan fi och v i .
Enformer
(5.14)
I ett tidigare avsnitt lyckades vi skapa ett tangentrum TpM för varje p i
en koordinatomgivning U. En tangentvektor ∈ TpM fick vi genom att
identifiera operatorn = v µ ∂/∂x µ som en vektor med koordinaterna v µ i
TpM med basvektorerna {∂/∂x µ }.
Hur skall vi nu beskriva det duala vektorrummet till TpM. Tidigare såg
vi att det duala vektorrummet utgörs av linjära avbildningar från → R.
En ledning får man genom att observera att v µ ∂f
∂x µ ∈ R, det vill säga
(f) = v µ ∂/∂x µ (f) ∈ R. (5.15)
Vi skulle nu vara klara om vi kunde definiera en linjär avbildning
µ ∂f
w() = v
∂x µ
(5.16)
Men denna blir automatiskt linjär vilket inses genom att sätta in a1 + b2
i höger- respektive vänster led. Det framgår även att w måste bero på f då
högerledet gör det. Det enklaste valet vi nu kan göra är att definiera
w ≡ df = ∂f
∂x µ dxµ ⇔ (5.17)
µ ∂f
df() = df · = v
∂x µ
(5.18)
Detta är alltså en linjär avbildning från → R. En naturlig bas för w
blir {dx µ }, vilket man ser genom att välja df = dx µ ∈ och sätta in i
definitionen ovan. Detta ger
df() = dx µ (∂/∂x ν ) = dxµ
∂x ν = δµ ν
(5.19)
vilket innebär att {dx µ } är en dualbas. Vi kallar w en en-form.
Nu när vi har basen {dx µ } kan vi skriva en godtycklig en-form som en linjärkombination
w = wµdx µ samt
w() = w · = 〈wµdx µ , v ν ∂/∂x ν 〉 = wµv ν δ µ ν = wµv µ
(5.20)
Den inre produkten måste vara oberoende av val av koordinatsystem. Betrakta
två olika koordinatsystem för p ∈ Ui ∩ Uj med koordinatfunktionerna
= ϕi(p) och = ϕj(p). Koordinatsystemen för T ∗ p M och TpM blir
{dx µ }, {∂/∂x µ } respektive (5.21)
{dy ν }, {∂/∂y ν } (5.22)
50