Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

cosΘ = gp(X, Y ) gp(X, X)gp(Y ; Y ) ↦→ e 2σ gp(X, Y ) e 2σ gp(X, X)e 2σ gp(Y ; Y ) = = gp(X, Y ) = cosΘ (7.25) gp(X, X)gp(Y ; Y ) Bevarandet av vinklar gäller dock bara lokalt eftersom en rak linje i allmänhet inte kommer att avbildas på en rak linje. Konforma avbildningar skiljer sig alltså ganska mycket från vad vi vanligtvis menar med ’lika så när som på en skalfaktor’. De konforma avbildningarna på en mångfald M bildar en grupp med avseende på sammansättning vilken kallas Conf(M). Två metriker som relateras med skalfaktorn e 2σ sägs vara konformt relaterade, vilket är en ekvivalensrelation vars ekvivalensklasser kallas den konforma strukturen på M. Själva avbildningen g → e 2σ g kallas en Weylskalning och även dessa bildar en grupp, kallad W eyl(M). Det finns ytterligare ett begrepp som behöver nämnas. Om en mångfald M i varje punkt p har en karta sådan att gµν = e 2σ δµν så kallas den konformt plan. Exempel på konforma avbildningar Exempel 7.5 (Analytiska funktioner). Vi visar här att alla analytiska funktioner med derivata skild från noll är konforma avbildningar. Vi tar en analytisk funktion f : C → C. Vi definierar en funktion ˆ f : R 2 → R 2 enligt: ˆf(x1, x2) = ˆ f(ℜf(x1 + ix2), ℑf(x1 + ix2)) = ˆ f(u(x1, x2), v(x1, x2)) (7.26) Jacobimatrisen av denna funktion är J = ∂u ∂x1 ∂v ∂x1 ∂u ∂x2 ∂v ∂x2 (7.27) Men eftersom f är analytisk kan vi skriva om detta med Cauchy-Riemanns , och får då: ekvationer, ∂u ∂x ∂v = ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x ∂u ∂x1 J = − ∂u ∂x2 ∂u ∂x2 ∂u ∂x1 = [{ ∂u , ∂x1 ∂u } = {r cos θ, r sin θ}] = r ∂x2 cos θ − sin θ sin θ cos θ (7.28) Jacobimatrisen är en ortogonal matris, nu tittar vi på hur två korsande kurvor transformeras under avbildningen. Låt γ1(t) = (u1(t), v1(t)) och γ2(t) = (u2(t), v2(t)) vara glatta kurvor och γ1(0) = γ2(0) = z, där z ∈ C är en godtycklig punkt. Vi stoppar in dessa kurvor i ˆ f och deriverar med avseende på t. ⎧⎪ ∂ ⎨ ∂t ⎪⎩ ˆ f(γ1)|t=0 = J(γ1(0)) ∂γ1 ∂t (0) = J(x1, ∂u1 x2) ∂t ∂v1 ∂dt ∂ ∂t ˆ f(γ2)|t=0 = J(γ2(0)) ∂γ2 ∂t (0) = J(x1, ∂u2 x2) (7.29) 123 ∂t ∂v2 ∂dt
Tangentvektorerna för kurvorna avbildas alltså av en ortogonal rotationsmatris, under förutsättning att f ′ (z) = 0. En ortogonal transformation bevarar vinklar och därmed är f en konform avbildning. 7.7.4 Killingvektorfält Ett vektorfält bildar en vektor vid multiplikation med en vektor. Det finns en speciell avgränsad mängd av vektorfält som vid multiplikation med en infinitesimal vektor och addition med en punkt ger upphov till en isometri. Vi definierar: Definition 7.14 (Killingvektorfält). Låt M vara en Riemmansk mångfald och X ∈ X ett vektorfält. Låt avbildningen f definieras av f : x µ ↦→ x µ + ɛX µ Om f är en isometri kallas X ett Killingvektorfält. (7.30) Namnet Killingvektorfält kommer från den tyske matematikern Wilhelm Killing. De är alltså inte så farliga som man kan tro. Dessa vektorfält uppfyller Killingekvationen: X ξ ∂ξgµν + ∂µX κ gκν + ∂νX λ gµλ = 0 (7.31) ⇐⇒ (LXg)µν = 0 (7.32) Det som gör Killingvektorfälten intressanta för oss är att de har ett samband med symmetrierna på en mångfald. De vektorfält som uppfyller på Killingekvationen motsvarar nämligen symmetrioperationerna på den aktuella mångfalden. Vi kan på motsvarande sätt som definitionen ovan definiera ytterligare en typ av vektorfält: Definition 7.15 (Konformt Killingvektorfält). Låt M vara en Riemmansk mångfald och X ∈ X ett vektorfält. Låt avbildningen f definieras av f : x µ ↦→ x µ + ɛX µ (7.33) Om f är en konform avbildning kallas X ett konformt Killingvektorfält. 7.8 Icke-koordinatbasen När vi inför en metrik g på en mångfald så uppstår en ny möjlighet att välja en bas. Den bas vi använt hittills kallas koordinatbasen, medan vi nu kan definiera icke-koordinatbasen. Vi inför samtidigt en dualbas till ickekoordinatbasen. 124
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?