Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

7.8.1 Definition av basvektorerna
Vi utgår från vår koordinatbas {eµ} = {∂/∂x µ } och dess dualbas {dx µ }. Vi
tar en rotationsmatris {e µ α ∈ GL(m, R) : dete µ α > 0} och roterar koordinatbasen
med denna:
êα = e µ ∂
α
∂x µ
(7.34)
Vi måste ställa ytterligare ett krav på basen för att den ska vara bra, nämligen
att den är ortonormal med avseende på vår metrik:
g(êα, êβ) = e µ αe ν β gµν =
δαβ
ηαβ
(7.35)
Vi ser här också att inverserna av rotationsmatriserna ger oss metriken när
de multipliceras med δ eller η.
Nu inför vi på samma sätt som tidigare (avsnitt 5.2) en dualbas, som vi
kallar { ˆ θα }. Denna införs genom att kräva < ˆ θα , êβ >= δα β (eller ηα β ) vilket
ger oss:
ˆθ α = e α µdx µ
(7.36)
Notera att vi här använder den inversa matrisen jämfört med föregående
definition. Vi använder konventionen att ta index från början av alfabetet
(α, β, γ, δ, ...) till icke-koordinatbasen och index från mitten av alfabetet
κ, λ, µ, ν, ... till koordinatbasen.
Elementen i koefficientmatrisen e µ α kallas vierbeins för fyrdimensionella
mångfalder och vielbeins för mångdimensionella dito (från tyska vier =
fyra och viel = många.) Metriken relateras till icke-koordinatbasens vektorer
genom följande två samband:
gµν = e µ αe ν β δαβ
g = δαβ ˆ θ α ⊗ ˆ θ β
7.8.2 Transformation av objekt till icke-koordinatbasen
Vektorer
(7.37)
Enligt vår konvention för index är V µ en vektor i koordinatbas medan V α är
samma vektor i icke-koordinatbas. V ska vara samma vektor oavsett bas, men
dess komponenter relateras på samma sätt som motsvarande basvektorer,
nämligen genom multiplikation med vierbein:
V µ = V αe µ α
V α = eα µV µ
(7.38)
125