Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Denna definition säger att bilden av p under transformationen 9 av g2 : σ(g2, p) är en punkt p ′ = σ(g2, p) på G. På p ′ verkar nu elementet g1: σ(g1, p ′ ) = σ(g1, (σ(g2, p))) (5.200) med samma resultat som om man direkt verkar med grupprodukten g1 ◦ g2 på p. Det är speciellt viktigt att understryka skillnaden mellan vår tidigare definition av liegrupper där G × G → G. Vi har alltså generaliserat ett steg ytterliggare genom att gruppen G i G × M → M ej är identisk med M Nedan presenteras några exempel 10 på verkan av liegrupper på olika mångfalder. Vi börjar dock med att definera och karakterisera denna verkan. Definition 5.20 (Liegruppens verkan). Låt G vara en Liegrupp som verkar på en mångfald M. Denna verkan σ : G × M → M sägs vara a) transitiv om för någon p1, p2 ∈ M existerar det ett element g ∈ G sådant att ϕ(g, p1) = p2; b) fri om det existerar ett element p sådant att ϕ(g, p) = p då måste g vara det neutrala elementet e; c) effektiv om det neutrala elementet e ∈ G är ett unikt element som definerar verkan på M, med andra ord om σ(g, p) = p, ∀p ∈ M då måste g vara det neutrala elementet. Exempel 5.12 (liegruppernas verkan). Övre halvplanet är en öppen delmängd av R med alla punkter (x, y) ∈ R, y > 0. Låt oss associera H med mängden av komplexa tal, z ∈ C och ℑz > 0. Om vi definerar en transitiv verkan σ: SL(2,R) × H → H För något z ∈ H och för någon matris A ∈ SL(2,R) får vi där A · z = az+b cz+d , A = med detA = 1. Avbildningarna som uppfyller z → az+b cz+d a b c d 9 Lägg märke till att transformationen är en translation 10 För utförligare behandling se [8] 91 kallas för Möbiustransformationer.
Möbiustransformationer 11 är grundläggande avbildningar som verkar på ett horisontellt plan och skickar varje punkt till en motsvarande punkt under vissa krav. Det finns fyra grundläggande typer: enkel translation, dilatationer, rotationer och invers där man vänder planet ut och in. Linjer på planet kan antingen förbli linjer eller omvandlas till cirklar och lokala vinklar bevaras. Om vi behandlar 3D-rummet och placerar en Riemannsfär ovanför planet och lyser igenom toppen av den kan vi visualisera möbiustransformationerna. När sfären förflyttas följer punkterna på planet efter vilket betyder att när sfären genomgår translation, genomgår även planet translation. Om vi lyfter sfären skapas dilatation och om vi roterar den runt en rotationsaxel roterar även planet med. Inversen fås genom att rotera sfären runt den horisontella axeln. Även de mest komplicerade Möbiustransformationer visar sig som enkla rörelser av sfären. Exempel 5.13 (liegruppernas verkan). Låt mängden av n × n symmetriska och positiva matriser betecknas MPD(n). Låt oss nu verka med liegruppen A ∈ Gl(n, R) på S ∈MPD A · S = ASA T Denna verkan är även transistiv eftersom varje MPD matris S kan skrivas som S = BB T för någon inverterbar matris B. Exempel 5.14 (liegruppernas verkan). liegruppen SO(3) består av linjära avbildningar som är avståndsbevarande (med determinant ett). Varje linjär avbildning lämnar origo fixt och man ser lätt att rotationer avbildar S 2 på sig själv. Vi har därför följande verkan definerad som SO(3) × S 2 → S 2 σ : R · x = Rx Denna verkan är transitiv. Detta beror på att för två punkter x, y på sfären S 2 finns en rotation, vars axel är vinkelrätt mot planet som innehåller x, y och origo O, av sfären 12 som avbildar x till y. På samma sätt kan vi för valfritt n ≥ 1 skapa en verkan på den reella enhetssfären, S n−1 = (x1, ....., xn) ∈ R n |x 2 1 + .... + x2 n = 1 , genom: σ : SO(n) × S n−1 → S n−1 . Exempel 5.15 (liegruppernas verkan). Låt M ∈ GL(n, R) och x ∈ R n . Vi definerar verkan av GL(n, R) på R n som vanlig multiplikation mellan matris och vektor. 11 För de intresserade rekommenderar vi Möbius Transformations Revealed av Douglas N. Arnold och Jonathan Rogness, University of Minnesota 12 Detta plan är inte unikt när x and y är antipodiska 92
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?