Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi vet att varje liegrupp har sin motsvarande liealgebra, som vi har påstått
är väsentlig och användbar. Låt oss nu motivera varför. Tidigare i detta
avsnitt beskrivs liealgebra som tangentrum vid identitetselementet, och tangentrummet
till en punkt är platt, vilket medför att det är lättare att arbeta
med liealgebror än liegrupper.
Tangentvektorn till en funktion i en punkt på dess graf talar om hur
funktionen beter sig i närheten av denna punkt men den säger ingenting om
det globala beteendet av funktionen. På samma sätt beskriver liealgebran
hur en liegrupp ser ut i närheten av identititetselementet. Eftersom vi kan
översätta identitetselementet till varje annan punkt av liegruppen genom att
utföra gruppmultiplikation kan vi dra slutsatsen att liealgebra ger oss information
om beteendet av liegruppen i närheten av alla punkter. En nackdel
med liealgebran är att den inte talar om globala egenskaper som topologisk
struktur av liegruppen, till exempel om den är sammanhängade eller enkelt
sammanhängande.
Vi presenterar nedan några intressanta exempel på hur man finner liealgebror
till de vanligaste liegrupperna 8
Exempel 5.6 (liealgebra av GL(n, R)). Låt gl(n, R) vara en liealgebra av
GL(n, R). Vi kommer att använda oss av approximationsmetoden och börjar
med att definera en kurva c : (−ɛ, ɛ) → GL(n, R) där vi kräver att c(0) = In.
Denna kurva kommer att approximeras enligt c(s) = In + sA + O(s2 ) där
A är en n × n matris med reella element. Vi studerar vad som händer om
vi låter s vara nära noll, s ↦→ 0. Observera att det c(s) inte kan försvinna
och c(s) måste vara i GL(n, R). liealgebran bestäms genom att beräkna
tangentvektorn till c(s) i In, vilket vi kan skriva c ′
(s) = A.
s=0
Detta medför att gl(n, R) är en mängd av n×n matriser och dimgl(n, R) =
n 2 = dimGL(n, R).
Nästa exempel visar hur man finner liealgebran av SL(n, R) och SO(n, R)
som är delgruper av GL(n, R)
Exempel 5.7 (liealgebra av SL(n, R)). Vi upprepar samma procedur som
i förra exempelet och approximerar kurvan på samma sätt. Om kurvan c(s)
skall vara SL(n, R) måste den uppfylla detc(s) = 1 + trA = 1, vilket medför
att trA = 0. Detta betyder att gl(n, R) är mängden av spårlösa n×n matriser
och dimsl(n, R) = n 2 − 1.
Exempel 5.8 (liealgebra av SO(n, R)). Vi låter igen c(s) = In+sA+O(s 2 ).
För att denna kurva skall vara i SO(n, R) = O(n) ∩ SL(n, R) så krävs det
att c(s) t c(s) = c(s)c t (s) = In.
Derivering av detta uttryck ger c ′
(s) tc(s)+c(s) tc ′
(s) = 0. Efter insättning
av s = 0 får vi A = −At . Detta betyder att liealgebran so(n, R) består av antisymmetriska
matriser. I en omgivning av identitetselementet är liealgebran
8 Vi följer Nakaharas resonemang s.211
85