Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Själva formen på liederivatan
L ˜ X ˜ Y = (X µ ∂µ ˜ Y − ˜ Y ∂µ ˜ X)∂/∂x µ
(5.66)
visar att den i sin tur genererar ett vektorfält. Vi skall nu ge några enkla
regler och samband för Liederivatan. Vi börjar med att bilda LXf där f är
en vanlig skalärfunktion. LXf bör betyda hur f förändras då man förflyttar
f från p längs ˜ X (dvs längs en integralkurva). Vi kan som tidigare skriva
detta som
lim 1
ɛ [f( + ɛ ˜ X(x)) − f()] =
ɛ→0
˜X[f] = df · ˜ X (5.67)
vilket är detsamma som riktningsderivatan av f längs ˜ X vilken även skrivs
〈df, ˜ X〉. Vi har nu fått det första sambandet för Liederivatan
L ˜ X f = ˜ X[f] (5.68)
Detta kan vi nu använda för att teckna för en speciell skalärfunktion som är
en skalärprodukt, nämligen
〈w, ˜ Y 〉 (5.69)
vilket är skalärprodukten mellan enformen w och vektorfältet ˜ Y . Vi bildar
och nu gäller alltså
L ˜ X 〈w, ˜ Y 〉 (5.70)
L ˜ X 〈w, ˜ Y 〉 = ˜ X〈w, ˜ Y 〉 (5.71)
enligt samband (5.68). Då L ˜ X är ett vektorfält är det naturligt att kunna
definiera L ˜ X w så att vi har likheten
L ˜ X 〈 ˜ X, ˜ Y 〉 = 〈L ˜ X w, ˜ Y 〉 + 〈w, L ˜ X ˜ Y 〉 (5.72)
enligt differentiering av skalärprodukt och med (5.71) har vi detta ekvivalent
med
〈L ˜ X w, ˜ Y 〉 = ˜ X〈w, ˜ Y 〉 − 〈w, L ˜ X ˜ Y 〉 (5.73)
Vänsterled innehåller uttrycket L ˜ X w som vi nu vill definiera så att vi får
V.L=H.L. L ˜ X w är extra instressant eftersom den tolkas som liederivatan på
en dualvektor. Denna likhet skall gälla för godtyckliga vektorfält ˜ Y eftersom
L ˜ X w måste vara oberoende av ˜ Y . Vi väljer därför ˜ Y konstant, dvs oberoende
av x
⇒ ∂ ˜ Y ν
= 0, ∀ν, µ (5.74)
∂x µ
60