Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Nu kan summationen utföras enklare, och det kan till exempel göras
genom att för varje fix komponent i (7.48) kolla vilka summationstermer den
ger upphov till. Det syns direkt att alla termer med Fµµ är noll, så vi börjar
med F01 som ger upphov till följande (nollskilda) termer:
1
2 ∂yF01dy ∧ dt ∧ dx (7.50)
1
2 ∂zF01dz ∧ dt ∧ dx. (7.51)
Detta är på grund av antisymmetrin i både tensorn och kilproduketen exakt
samma termer som F10 ger upphov till:
1
2 ∂yF10dy ∧ dx ∧ dt = 1
2 ∂yF01dy ∧ dt ∧ dx (7.52)
1
2 ∂zF10dz ∧ dx ∧ dt = 1
2 ∂zF01dz ∧ dt ∧ dx. (7.53)
Det räcker alltså att kolla på koefficienterna ovanför diagonalen och ekvation
(7.49) blir då:
⎫
−(∂yEz − ∂zEy)dt ∧ dy ∧ dz⎬
−(∂xEz − ∂zEx)dt ∧ dx ∧ dz
⎭
−(∂xEy − ∂yEx)dt ∧ dx ∧ dy
+
⎫
−∂tBxdt ∧ dy ∧ dz⎬
+∂tBydt ∧ dx ∧ dz
⎭
−∂tBzdt ∧ dx ∧ dy
−(∂xBx + ∂yBy + ∂zBz)dx ∧ dy ∧ dz = 0.
Notera hur vi har grupperat termerna. Det första blocket motsvarar en rotation,
det andra en derivata och det tredje en divergens. Basen är dock element
i Ω 3 (M). För att visa att detta är samma sak som när vi använder “vanliga”
basvektorer, så måste vi hitta en isomorfism mellan Ω 3 (M) och X (M). En
sådan ges av ε κλµν = −εκλµν (från ekvation (7.44) sidan 128), genom att vi
identifierar komponenterna i en vektor med komponenterna i en 3-form: x κ =
ε κλµν ωλµν. Alltså till exempel x 0 = −(ω123 +ω312 +ω231 −ω132 −ω321 −ω213).
Vår 3-form dF har bara de komponenter vi ser här ovan, varför vi identifierar
x 0 = ∂xBx + ∂yBy + ∂zBz. Samma procedur applicerad på de andra
koefficienterna ger nu att dF = 0 exakt motsvaras av:
∇ × E = −∂tB och ∇ · B = 0. (7.54)
För att visa hur d † F = J reduceras till de andra två Maxwellekvationerna
noterar vi först att, då m = 4 och r = 2, så blir d † F = −(−1) mr+m ∗ d ∗ F =
− ∗ d ∗ F . I ett nästa steg undersöks vad Hodgestjärnanorna och den externa
derivatan gör med F . Enligt definitionen (7.16) (sidan 128) och (5.11) sidan
74 har vi:
= − ∗
1
− ∗ d ∗
2 Fµνdx µ ∧ dx ν
1 µν
∂ξ(Fµνε
4 κλ )dxξdx κ ∧ dx λ
1 µν
= − ∗ d Fµνε
4 κλdxκ ∧ dx λ
130
= − 1 µν
∂ξ(Fµνε
4 κλ )εξκλ π dx π