Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi har nu fått
2 = 0 + ɛ ˜ X(0) + δ ˜ Y (0) + δɛD ˜ Y (0) · ˜ X(0) (5.94)
Väg 2: Först går vi 0 → 3. analogt med (5.90) har vi 3 = 0 + δ ˜ Y (0)
längs ˜ Y (0). Därefter 3 → 4 längs ˜ X(3).
insättes i
4 = 3 + ɛ ˜ X(3) (5.95)
3 = 0 + δ ˜ Y (0) (5.96)
0 + δ ˜ Y (0) + ɛ[ ˜ X(0 + δ ˜ Y (0))] ⇒ (5.97)
4 = 0δ ˜ Y (0) + ɛ[ ˜ X(0)δD ˜ X(0) · ˜ Y (0)] =
Bilda nu skillnaden (2 − 4)
= 0 + δ ˜ Y (0) + ɛ ˜ X(0) + ɛδD ˜ X(0) · ˜ Y (0) (5.98)
2 − 4 = ɛδ[D ˜ Y (0) · ˜ X(0) − D ˜ X(0) · ˜ Y (0)] (5.99)
Vi har nu fått Liederivatan innanför hakparenteserna i (5.99)
(2 − 4) = D ˜ Y (0) · ˜ X(0) − D ˜ X(0) · ˜ Y (0) (5.100)
eller på komponentform
∂ ˜ Y ν
∂x µ · ˜ X µ − ∂ ˜ Xν ∂x µ · ˜ Y µ
(0) (5.101)
Skillnaden mellan punkterna 4 och 2 fås alltså direkt ur Liederivatan. Denna
skillnad beror på att D ˜ X · ˜ Y och D ˜ Y · ˜ X inte kommuterar och skillnaden
blir av storleksordning O(ɛδ) = O(ɛ 2 ).
5.4 Differentialformer och integration av mångfalder
5.4.1 Inledning till differentialformer
Vårt mål är nu att konstruera en motsvarighet till integralen i ett Rn-rum som gäller för allmänna mångfalder. Den enklaste och endimensionella integralen
skriver man som
f(x)dx där kurvan γ är en endimensionell mång-
γ
fald och x en reelvärd variabel. Vi kallar nu f(x)dx en 1-form. Från analysen
vet vi att ett variabelbyta x → x ′ lämnar f(x ′ )dx ′ oförändrad i bemärkelsen
64