Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

den specifika topologin är underförstådd, eller inte är viktig i sammanhanget,
brukar det topologiska rummet lite slarvigt bara beteckas med X.
En ekvivalent definition av vad som är ett topologiskt rum kan göras
med hjälp av matematiskt symbolspråk. Vi ger denna definition också och
läsaren bör jämföra båda definitionerna (3.1) och (3.2) med varandra för att
få en full förståelsen av dessa. 1
Definition 3.2 (Topologiskt rum B). Ett topologiskt rum är ett par
(X, T ), där X är en mängd och T = {Ui|Ui ⊂ X, i ∈ I}, där I är en
mängd tal ∈ N, så att X och T uppfyller följande:
(i) ∅, X ∈ T .
(ii) ∀J : ∪j∈JUj ∈ T , där J är en mängd tal ∈ I.
(iii) ∀K : ∩k∈KUk ∈ T , där K är en ändlig mängd tal ∈ I.
Låt oss ta ett enkelt exempel för att illustrera begreppet ’topologiskt
rum’. Betrakta mängden X = {A, B, C}. För att skapa ett topologiskt rum
ur X måste vi hitta en mängd delmängder T som ger X en topologi. Det
första kravet på T är att det innehåller både X och nollmängden. Om vi väljer
T = {∅, X} ser vi att både krav (ii) och (iii) är uppfyllda, och denna topologi
brukar kallas för den triviala topologin. Det finns dock fler topologiska rum
som kan skapas ur X. X’s möjliga delmängder är ∅, A, B, C, {A, B}, {A, C},
{B, C} och X. 2 Om T är mängden av alla dessa delmängder så ger T också
en topologi åt X (kallad den diskreta), men i andra fall måste vi se upp:
T = {∅, X, A, B} ger inget topologiskt rum eftersom A ∪ B = {A, B} /∈ T
T = {∅, X, {A, B}, {B, C}} ger inget topologiskt rum eftersom
{A, B} ∩ {B, C} = B /∈ T
T = {∅, X, A, {A, B}} ger däremot ett topologiskt rum (X, T )
Mängden av alla reella tal, R, eller mängden av alla n-tipler av reella tal,
Rn , är ett vektorfält, men vi kan ändå ge det olika topologier och göra topologiska
rum av det. En vanlig topologi är mängden av alla öppna områden
(a1, b1) × ... × (an, bn), för R de öppna intervallen (a, b), och deras unioner.
Topologin som ges på detta sätt kallas för den vanliga topologin. I allmänhet
så går det bra att tänka på Rn och olika delmängder därav som topologiska
rum, där den vanliga topologin är underförstådd.
Notera att vi i det tredje villkoret i definitionen för topologiskt rum (3.1)
kräver en ändlig mängd element. Låt oss studera varför det är viktigt. Om
vi till exempel tar talmängden R, så skulle ett snitt av en oändlig mängd
element av typen (− 1 1
n + a, n + a), n ∈ N, där a är ett konstant reellt tal, bli
talet a. För den vanliga topologin innebär detta att den måste innehålla alla
1 Det finns flera sätt att definiera topologiska rum på. Den intresserade läsaren uppmuntras
till att jämföra de definitioner som ges här med dem i Nakahara [1] och Armstrong
[7]. 2Observera att nollmängden ∅ ingår i varje mängd.
24