Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

steg åt höger. Vi byter då tecken r gånger och vi får faktorn (−1) r framför
denn term som då blir
(−1) r ξi1...irdx i1 ∧ ... ∧ dx ir ∧ ∂ηj1...jr
∂x i dxi ∧ dx j1 ∧ ... ∧ dx jq =
(−1) r ξ ∧ η (5.148)
Och därmed har vi visat (ii)
Bevis 5.3 (iii). Tag w = 1
r! wµ1....µrdx µ1 ∧ ... ∧ dx µr . Då d 2 verkar på w får
vi direkt
Eftersom ∂2 wµ 1 ...µr
∂x λ ∂x ν
d 2 w = 1 ∂
r!
2wµ1...µr ∂xλ∂xν dxλ ∧ dx ν ∧ dx µ1 µr ∧ ... ∧ dx (5.149)
= ∂2 wµ 1 ...µr
∂x ν ∂x λ
och samtidigt
dx λ ∧ dx ν = −dx ν ∧ dx λ
försvinner alla termer, det vill säga uttrycket = 0
Extern derivata av f ∗ x
(5.150)
I avsnittet ”Inducerade avbildningar” såg vi att en avbildning f : M → N
inducerar en annan avbildning f∗ : TpM → T f(p)N gällande tangentplanen i
respektive mångfald. f∗ verkar alltså på vektorer V ∈ TpM enligt
M f → N g → R (5.151)
(f∗V )(g) = V [g ◦ f] (5.152)
där g ◦ f är en skalär funktion. De duala vektorrummen T ∗ p (M) och T ∗ p (N)
är alltså linjära avbilfningar från Tp(M) respektive Tp(N). Om således en
linjär avbildning Tp(N) → R är definierad så ger f : M → N upphov till
en linjär avbildning från Tp(M) → R dvs vi har fått avbildningen T ∗ P (N) →
T ∗ p (M)som går motsatt håll till f. Vi definierar f ∗ som
〈f ∗ w, V 〉 = 〈w, f∗V 〉 (5.153)
Om nu w ∈ Ω r (N) så har vi för f ∗ : Ω r f(p) (N) → Ωr p(M)
där xi ∈ TpM. Vi har sambanden
i d(f ∗ w) = f ∗ (dw)
ii f ∗ (ξ ∧ w) = f ∗ (ξ) ∧ f ∗ (w)
f ∗ (w)(x1, ..., xr) ≡ w(f∗x1, ..., f∗xr) (5.154)
75