Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

5.4.7 Integration av differentialformer
Integration av en differentialform över en mångfald förutsätter att mångfalden
är orienterbar. Därför måste vi först definiera orienterbarhet. Vi har en
m-dimensionell mångfald M (som är sammanhängande). Antag att p ∈ M
och vi har två överlappande kartor Ui, Uj så att p ∈ Ui ∩ Uj = ∅. Kalla
koordinaterna för tangentplanet TpM för x{x µ } och {y µ } med respektive
basvektorer {∂/∂x µ } och {∂/∂y µ }, som lokala koordinatsystem. Då vi övergår
från koordinatsystemet x µ till y µ får vi en ändring av basen som skrivs
α = ∂xµ
∂y α µ. Om det| ∂xµ
∂y α | > 0 definieras baserna att ha samma orientering.
Vi känner igen det| ∂xµ
∂y α | som Jacobianen J. Om vi istället har J < 0 definieras
baserna till att olika orientering.
Definition 5.12 (Orienterbarhet). M är sammanhängande och täcks av
{Ui}. M är orienterbar om det för alla Ui, Uj, Ui ∩ Uj = ∅, finns lokala
koordinatsystem {x µ } för Ui, {y µ } för Uj sådana att J = det| ∂xµ
∂y α | > 0
Det följer av definitionen att om M ej är orienterbar kan J ej vara positiv
i alla Ui ∩ Uj = ∅. Ett exempel på detta är möbiusbandet som endast har
en sida och då man förflyttar sig ett varv får man motsatt riktning för de
lokala basvektorerna dx, dy
Sats 5.2 (Existens av volymelement). Om M är orienterbar och dimM = m,
finns det en m-form w som ej försvinner någonstans.
Denna m-form kallas ett volymelement och motsvarar ett mått w så
man integrerar en funktion över M. Måtten w och w ′′ är ekvivalenta om det
finns en positiv funktion h ∈ F(M) så att w = hw ′ . Om h < 0 ger detta
en icke ekvivalent orientering. Vidare kan man då dela in w i olika klasser:
de för vilka h > 0 och de för vilka h < 0. Vi har då två icke ekvivalenta
orienteringar. Den positiva kallas högerorienterad och den negativa kallas
vänsterorienterad. Välj en m-form w (dimM = m), p ∈ M
w = h(p)dx 1 ∧ ... ∧ dx m
(5.172)
Om M är orienterbar kan vi utvigda w till M så att h > 0 på varje karta Ui. I
så fall definierar w ett volymelemnt. Att h är positivt är då alltså oberoende
av koordinatsystem.
Givet en funktion f : M → N på en orienterbar mångfald väljer vi ett
volymelement w samt en koordinatomgivning Ui med koordinatsystemet
{x1, ..., wm}
Man kan då definiera en integral över U : i:
intUi fw = int ϕi(Ui)f(ϕ −1
i ())h(ϕ−1
i ())dx1 dx 2 ...dx m
78
(5.173)