Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

7.5 Levi-Civita-konnektionen
Eftersom ingen konnektion är mer naturlig än någon annan, så har vi möjlighet
att välja en konnektion med önskvärda egenskaper. Man kan fråga sig
vilka dessa egenskaper skulle kunna vara samt om det finns en konnektion
som uppfyller dessa och om konnektionen är entydigt bestämd av just dessa
egenskaper. Ett naturligt krav att ställa, är att då vi tillämpar konnektionen
på det euklidiska rummet R n skall vi få vår vanliga parallellförflyttning. Om
vi därutöver kräver att torsionen måste vara noll, har vi kraftigt avgränsat
antalet valmöjligheter. Denna konnektion blir entydig, genom att explicit
konstruera den enligt satsen nedan. Egenskapen att torsionen försvinner kallar
vi för att konnektionen är symmetrisk.
Sats 7.1 (Riemanngeometrins fundamentalsats). Givet en mångfald M och
en metrik g finns en unik symmetrisk konnektion, vilken vi kallar Levi-Civitakonnektionen.
Bevis. Låt först ∇ vara en godtycklig konnektion. Dess koefficienter är
Γ κ
κ
µν = + K
µν
κ µν
(7.10)
Kan vi få en ny konnektionskoefficient genom att addera −K κ µν? Isåfall existerar
Levi-Civita-konnektionen och är unik.
Addera ett godtyckligt tensorfält t λ µν till en konnektionskoefficient och
provar om denna, låt kalla den X uppfyller kravet för att vara en konnektionskoefficient.
Vårt krav är att följande ekvation ska gälla för koordinattransformationen
från {e µ } till {f µ }, där Γ κ µν antas vara konnektionskoefficienter
i basen {e µ } och Γ κ µν + t λ µν konnektionskoefficienter för basen {f µ }.
Vi byter koordinater i vänsterledet:
Nu kan vi skriva
∇fαfβ = Xfγ = (Γ γ
αβ + tγ
αβ )fγ
∇fα fβ = {fα = (∂x µ /∂y β )eµ}
∂ 2 x ν
∂x µ
= ∇fα eµ
∂yβ = ∂2x µ
∂yα∂y β eµ + ∂xλ
∂yα
∂2x µ
=
∂x µ
∇eλeµ ∂yβ ∂yα ∂xλ
+
∂yβ ∂yα ∂x µ
∂yβ Γνλµ ∂yα ∂xλ
+
∂yβ ∂yα ∂x µ
∂yβ Γν
λµ eν = (Γ γ
αβ + tγ
αβ )fγ
116
eν
(7.11)
(7.12)