Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi kan relatera detta till både vektorfält och komplex analys. I vektorfält
visar divergensen om det finns källor eller ej, vilka betyder att mångfalden
inte kan deformeras till en punkt. Detta eftersom källor symboliserar en
urartning. Lägg märke till att divergensen är den externa derivatan av en
2-form.
Då vi behandlar komplex analys, kan vi tänka oss att en funktion f(z) är
en deformation av sin definitionsmängd D ⊆ C till en annan typ av mångfald
(värdemängden) V ⊆ C. Detta betyder att om funktionen har några
singulariteter på D kommer dessa manifestera sig som hål i värdemängden,
vilket är precis detsamma som att definitionsmängden inte är dras ihop till
en punkt. Det blir tydligare om man tänker på C ∼ = R 2 7 .
Vidare betyder detta också att varje sluten form är exakt lokalt.
6.2 Exempel på integration av r-former.
Exempel 6.3 (Integration av en 1-form). Låt α vara en 1-form
α = 2dx + 3xdy
och P en delkurva till kurvan y = x 3 från punkten (0, 0) till punkten (1, 1).
Först parametriserar vi P genom att skriva
x = t
y = t 2
Vi sätter in detta i integralen och får
=
1
0
P
α(x, y) =
där 0 ≤ t ≤ 1
1
0
1
0
α(t, t 2 ) =
[2dt + 3td(t 2
)] = (2 + 6t 2 )dt = 4
där d opererar på t 2 och vi använder oss av implicit differentiering för
att få 2tdt.
Nästa exempel kräver lite mer beräkningar men det visar också att differentiella
former och deras integration tillämpas i problem av fysikalisk natur.
Exempel 6.4 (Integration av en 2-form: Energins flöde från Solens yta).
Låt
M = (x, y, z) ∈ R 3 |x 2 + y 2 + z 2 = R 2
solen
7 (C, +, ∗) ∼ = (R 2 , +, ×) med × : (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
99