Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

gφ,φ =< fφ, fφ >
= [(−R sin φ − r cos θ sin φ) 2 + (R cos φ + r cos θ cos φ) 2 ]
= R 2 sin 2 φ + 2Rr sin 2 φ cos θ + r 2 cos 2 θ
+ sin 2 φ + R 2 cos 2 φ + 2Rr cos 2 φ cos θ + r 2 cos 2 θ cos 2 φ
= (R + r cos θ) 2
där fφ = ∂f
∂φ
och vi får slutligen den sökta metriken
7.2 Konnektion
g = r 2 dθ ⊗ dθ + (R + rcosθ) 2 dφ ⊗ dφ.
Vi har inga problem med att flytta vektorer i euklidiska vektorrum. Ska vi
flytta en vektor, v = (x1, ...xn), två steg i x1-led är det lätt: v’ = (x1 +
2, x2, ...xn). Vi kan tyvärr inte uttala oss om förflyttningar på en mångfald
än, eftersom den bara lokalt beter sig euklidiskt. Vi kommer i denna text
att enbart behandla såkallade Affina konnektioner, vilka vi beskriver här
nedan. Det finns flera sätt att lösa problemet och lösningen vi behandlar,
dessa affina konnektioner, bygger på att vi vet hur vi vektorfält beter sig på
mångfalder 1 .
7.2.1 Motivering och definition
Anledningen till att vi kan translatera vektorer effektivt i en euklidisk mångfald
är att tangentrummen vid de olika punkterna på mångfalden kan identifieras
med varandra genom samma translation 2 . På en allmän differentierbar
mångfald har vi inte fördelen att ha ett naturligt sätt att relatera tangentrummen
vid olika punkter med varandra. Det vi däremot har är en teori för
hur vektorfält beter sig på mångfalder.
Låt oss innan vi fortsätter fråga oss om det verkligen är viktigt att kunna
relatera tangentrummen med varandra. Så länge vi använder koordinatberoende
framställning av vektorer och tensorer kommer vi generellt sätt inte att
kunna relatera vid olika punkter på mångfalden till varandra. En relation
mellan tangentrummen, kallad konnektion, råder bot på detta.
Vi har sett att vi inte kan translatera ett tangentrum för en punkt till en
annan punkt utan att införa nya begrepp. Låt oss betänka vad vi menar
med translation från en punkt till en annan, vi menar en förflyttning från en
punkt till en annan. Nu kan vi börja formulera detta matematiskt:
1 Dra er även till minnes att vi enbart behandlar differentierbara mångfalder
2 Egentligen finns vektorerna i sina tangentrum, vilka vi kan translatera till varandra
och på så sätt jämföra vektorer.
112