Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

En r-form ω kallas harmonisk om ∆ω = 0.
Mängden av harmoniska r-former på M kallar vi Harm r (M).
En r-form ω kallas sluten om dω = 0.
En r-form ω kallas kosluten om d † ω = 0.
En r-form kallas exakt om den globalt kan skrivas som ωr = dαr−1
med αr−1 ∈ Ω r−1 (M).
Mängden av exakta r-former på M kallar vi dΩ r−1 (M).
En r-form kallas koexakt om den globalt kan skrivas som ωr = d † βr+1
ned βr+1 ∈ Ω r+1 (M)
Mängden av koexakta r-former på M kallar vi d † Ω r+1 (M).
Laplaceoperatorn är en positiv operator, ty (ω, ∆ω) = (ω, (d † d+dd † )ω) =
(dω, dω) + (d † ω, d † ω) ≥ 0. Detta visar också att en r-form måste vara både
sluten och kosluten för att vara harmonisk, ty endast då gäller likhet.
Med hjälp av Stokes sats så går det att inse att exakta, coexakta och
harmoniska former är parvis ortogonala för en mångfald utan rand. Dessutom
så utgörs allt som är ortogonalt mot exakta och koexakta former av
endast de harmoniska formerna. Detta gör att vi kan förstå följande sats:
Sats 7.4 (Hodge dekompositionssatsen). För en kompakt, orienterbar,
riemannsk mångfald (M,g) utan rand, så kan Ω r (M) på ett unikt sätt delas
upp i Ω r (M) = dΩ r−1 (M) ⊕ d † Ω r+1 (M) ⊕ Harm r (M). Det vill säga varje
r-form kan skrivas som summan av en exakt, en koexakt och en harmonisk
del.
I detta läge är vi redo för att klargöra den djupa relationen mellan
kohomologigrupper och mängden av harmoniska former. Kom ihåg att kohomologigruppen
består av ekvivalensklasserna av slutna r-former som bara
skiljer sig med en exakt form (jämför kapitel 6). En representant i en sådan
ekvivalensklass betecknar vi med ωr. Enligt Hodge dekomositionssatsen så
kan den skrivas som ωr = dαr−1 + d † βr+1 + γr (dvs. en exakt, en koexakt
och en harmonisk del). Men eftersom formen skall vara sluten, så reduceras
detta till ωr = dαr−1 + γr. I detta sammanhang betraktar vi former som
bara skiljer sig med en exakt form som ekvivalenta. Det betyder att varje
element i kohomologigruppen, det vill säga varje ekvivalensklass, kommer
att motsvaras av en och exakt en harmonisk form. Vi kan enkelt konstruera
denna isomorfism också. Eftersom Harm r och dΩ r−1 är orthogonala, så
kommer alla former som bara skiljer sig med en exakt form (dvs är kohomologa)
att ha samma projektion på Harm r . Vi identifierar alltså varje form
som är representant i någon ekvivalensklass av kohomologigruppen med dess
projektion på Harm r . Vi har nu Hodge’s sats:
Sats 7.5 (Hodge’s sats). På en kompakt, orienterbar, riemannsk mångfald
(M,g) är H r (M) Harm r (M). r-kohomologigrupperna är also isomorfa med
132