Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Kom ihåg att Levi-Civitakonnektionen inte har någon vriding, T (X, Y ) = 0
för alla X, Y . Detta i samband med att inse att ∇Z[X, Y ] kan skrivas om
enligt nedan kommer efter formella beräkningar att ge svaret.
[Z, [X, Y ]] = ∇Z[X, Y ] − ∇ [X,Y ]Z ⇔ ∇Z[X, Y ] = [Z, [X, Y ]] + ∇ [X,Y ]Z
Vi har nu gått igenom några av de matematiska följderna men vi vill
även veta hur Kurvaturtensorn ter sig i olika baser eftersom vi då kan se
dess verkan på vektorer. Vi kommer därför att avsluta detta avsnitt med att
skriva kurvaturtensorns koordinater i en bas.
Vi ser kurvaturtensorns verkan på dualbasen d x µ och koordinatbasen eµ.
Komponenterna i tensorn kan då skrivas 7
R κ λµν = 〈d xκ , R(eµ, eν)eλ〉 = ∂µΓ κ νλ − ∂νΓ κ µλ
7.6.1 Exempel på Riemanns kurvaturtensor
+ Γη
νλ Γκ µη − Γ η
µλ Γκ νη
Vi börjar med att härleda den allmänna formen för Riemanntensorn för en
fyrdimensionell diagonal metrik med avseende på Levi-Civita-konnektionen.
Vidare skall vi tillämpa denna på intressanta specialfall. Det första exemplet
följer resonemanget i Rindler, [10] ss 419-421.
Exempel 7.3 (4D-Diagonala metrikers Riemanntensor). Metriken vi avser
är i matrisform ekvation 7.8, på differentialformen skrivs den:
ds = Adx 1 dx 1 + Bdx 2 dx 2 + Cdx 3 dx 3 + Ddx 4 dx 4
(7.15)
där koefficienterna är allmänna: A = A(x1 , x2 , x3 , x4 ), B = B(x1 , x2 , x3 , x4 ),
C = C(x1 , x2 , x3 , x4 ) och D = D(x1 , x2 , x3 , x4 ). Konnektionen är Levi-Civita
och därför ges konnektionskoefficienterna Γ µ νσ av Christoffelsymbolerna { µ
νσ}.
Vi inför några symboler för att kunna skriva uttrycken på en mer kompakt
form:
α = 1
1
1
1
2A , β = 2B , γ = 2C , δ = 2D
samt följande konvention för derivator:
Aµ = ∂A
∂x µ
Bµ = ∂B
∂x µ
Cµ = ∂C
∂x µ
Aµν = ∂2 A
∂x µ x ν Bµν = ∂2 B
∂x µ x ν Cµν = ∂2 C
∂x µ x ν
.
.
.
Dµ = ∂D
∂x µ
Dµν = ∂2 D
∂x µ x ν
.
(7.16)
(7.17)
7 Genom definitionen av Christoffelsymbolerna. För explicit härledning se s. 255, ekv.
(7.42) i [1]
119