Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

T verkar nu linjärt på varje :
T (1) ⊗ ... ⊗ (a ′ + b ′′ ) ⊗ .. ⊗ q =
= aT (1 ⊗ ... ⊗ ′ ... ⊗ q) + bT (1 ⊗ ... ′′ ⊗ ... ⊗ q) (5.122)
Man kan gå ytterligare ett steg i generaliseringen och bilda produktrum även
på duala vektorrum:
och även sammansättningar av typ
V ∗ ⊗ .. ⊗ V ∗ ≡ r
⊗V ∗
(5.123)
V ∗ ⊗ .. ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ... ⊗ V ≡ r q
∗
⊗V ⊗ V (5.124)
Vi skall nu tillämpa det viktigaste sambandet mellan V och V ∗ , vilket
vi numera är välbekantade med, nämligen att de linjära avbildnignarna på
V bildar det duala vektorrummet V ∗ . Vi har basen {1, ...n} för V och
basen {1 , ...n } för V ∗ . Varje i är alltså en linjär avbildning som precis
som tidigare gäller att i (j) = δi j . Något som kanske inte påpekats tidigare
är att V och V ∗ är helt symmetriska. Detta ser vi genom att bilda dualen
till V ∗ :
(V ∗ ) ∗ ≡ V ∗∗
vilken man sedan kan identifiera med V :
V ∗∗ ≡ V
(5.125)
I så fall kan man betrakta det som att det inte spelar någon roll i vilken
ordning man utför produkten mellan baserna
i (j) = j( i ) = δ i j
Vi betraktar nu en multilinjär avbildning T r :
(5.126)
r
⊗V → R. Det gäller nu att
Sats 5.1. Om { j } är en bas i V samt {j} en bas för V ∗ så är { µ1 ⊗...⊗ µr }
en bas för T r . Här betecknar { µ1 ⊗...⊗ µr } en viss permutation av r stycken
utvalda basvektorer i V ∗
Bevis 5.1. Antag att { µ1 ⊗ ... ⊗ µr } är linjärt beroende. Det finns då en
summa
T r = tµ1...µr µ1 ⊗ ... ⊗ µr = 0 (5.127)
där inte alla tµ1...µr = 0. Låt nu T r verka på {ν1 ⊗ ... ⊗ νr}.
vilket är en motsägelse.
⇒ T r (ν1 ⊗ ... ⊗ νr) =
= tµ1...µr( µ1 ⊗ ... ⊗ µr )(ν1 ⊗ ... ⊗ νr) =
= tµ1...µrδ µ1...µr
ν1...νr = tµ1...µr = 0 (5.128)
70