Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
R ≡ g µν Rµν. Eftersom både Riccitensorn <strong>och</strong> den skalära kurvaturen R konstrueras<br />
ur metriken, är också Einsteintensorn bara ett resultat av metriken<br />
som vi väljer. Genom att formulera <strong>allmän</strong> relativitet i tensorer uppfylls automatiskt<br />
den generella relativitetsprincipen: Att alla fysikaliska lagar ska ha<br />
samma form oberoende av koordinatsystem. Men energi <strong>och</strong> rörelsemängd<br />
är bevarade storheter, <strong>och</strong> där<strong>för</strong> måste (formellt enligt Noether’s theorem)<br />
energi-rörelsemängdstensorn, <strong>och</strong> därmed också Einsteintensorn, vara konserverade<br />
storheter. Det är detta krav som leder till den definition av Einsteintensorn<br />
som har gjorts.<br />
Vad innebär då Einsteins fältekvation <strong>för</strong> universum? Beroende på från<br />
vilket håll ekvationen betraktas, kan man tänka sig ett flertal olika metriker<br />
som ger upphov till olika energi-rörelsemängdstensorer, eller tvärtom <strong>och</strong><br />
kausalt mer korrekt så går det att ta fram olika energi-rörelsemängdstensorer<br />
<strong>och</strong> se vad de ger upphov till <strong>för</strong> rumtid. Frågan kan ställas vilka av dessa<br />
som beskriver vårt universum bäst, <strong>och</strong> vad de har <strong>för</strong> fysikaliska implikationer.<br />
Ett bra sätt att få insyn i dessa frågor på är att studera de analytiska<br />
lösningar som Einsteins fältekvation har. För att kunna hitta analytiska lösningar<br />
till Einsteins fältekvation måste ett flertal <strong>för</strong>enklande antaganden<br />
göras <strong>och</strong> ett flertal krav ställas <strong>för</strong> att begränsa antalet fria variabler. I det<br />
följande så väljer vi att undersöka några enkla lösningar. I nästföljande avsnitt<br />
(8.1) betraktar vi ett tomt universum <strong>och</strong> därefter, i avsnitt (8.2), ett<br />
universum som inte är tomt, men isotropt <strong>och</strong> homogent.<br />
8.1 Vakuumlösningar<br />
De enklaste analytiska lösningarna till Einsteins fältekvation fås genom att<br />
betrakta ett tomt universum, det vill säga utan energi <strong>och</strong> massa. I så fall så<br />
<strong>för</strong>svinner energi-rörelsemängdstensorn, Tµν = 0, <strong>och</strong> Einsteins fältekvation<br />
reduceras till Gµν = 0. Vilket alltså innebär att vi söker lösningar som upp-<br />
2gµνR. Detta kan <strong>för</strong>enklas ytterligare ty g µνRµν = g µν 1<br />
2gµνR ⇔ R = 1<br />
2δµ µR ⇒ R = 0. Einsteins fältekvation i vakuum kan nu skrivas<br />
fyller Rµν = 1<br />
Rµν = 0. (8.3)<br />
Vi undersöker nu <strong>för</strong> vilka metriker gµν detta uppfylls.<br />
Om Riemanntensorn R κ µλν är noll, så är också Riccitensorn Rµν = R λ µλν<br />
noll <strong>och</strong> den skalära kurvaturen R = g µν Rµν likaså. Detta skulle alltså ge en<br />
lösning. Intuitvt så mäter Riemanntensorn hur mycket en mångfald avviker<br />
ifrån en platt mångfald. Riemanntensorn <strong>för</strong>svinner <strong>för</strong> en euklidisk mångfald<br />
<strong>och</strong> andra mångfalder vars metriker har konstanta koefficienter. En godtyckig<br />
euklidisk metrik δµν löser alltså Einsteins fältekvation i vakuum.<br />
Men alla vakuumlösningar måste inte vara mångfalder med metriker vars<br />
Riemanntensor <strong>för</strong>svinner. Vi kan mycket väl tänka oss mångfalder med<br />
metriker som ger upphov till en nollskild Riemanntensor men en Riccitensor<br />
135
Change language