Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

• exp : gl(n, R) → GL(n, R)
• exp : sl(n, C) → SL(n, C)
Man kan fråga sig om dessa avbildningar är väldefinerade, och det är de
eftersom de tilldelar ett unikt element i liegruppen till varje element i liealgebran.
Låt oss nu studera exponentialfunktionen innan vi återknyter till
enparameterdelgrupper.
Vi vet sedan tidigare att exponentialfunktionen kan utvecklas i taylorserien
e x ∞ x
=
n
x2 x3
= 1 + x + + + . . .
n! 2! 3!
(5.193)
n=0
Vi utgår från detta för att definiera exponentialfunktionen på matriser. Om
vi låter en liegrupp G vara en mängd av n × n matriser med reella eller
komplexa element kan vi se att exponentialavbildningen är ekvivalent med
exponentialfunktionen av en matris
e A = In +
p≥0
A p
p!
=
p≥0
A p
p!
(5.194)
där A 0 = In
För bevis av att den ovanstående serien är konvergent och väldefinerad se
C.2.
Om G = GL(n, R) och A ∈ gl(n, R) kan vi omdefinera enparameterdelmängden
φ : R → GL(n, R) som
φA(t) = e tA = In + tA + t2
2! A2 + ..... + tn
n! An + ... (5.195)
där vi genom att låta t = 1 får tillbaka vår exponentialavbildning.
φA(1) = e A = In + A + 1
2! A2 + .... + 1
n! An + .... (5.196)
Exempel 5.10 (Beräkning av matrisexponential). Låt oss beräkna eA av
en antisymmetrisk matris.
0 −θ
A =
θ 0
Observera att vi kan bryta ut θ samt att kvadraten av matrisen är enhetsmatrisen,
så när som på en skalfaktor:
2 0 −θ
= −θ
θ 0
2
1 0
0 1
88