Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Figur 5.10: Inducerad avbildning: f ∗ V = W
Vi behöver en skalär funktion som V och W verkar på. Inför därför
g : N → R som därmed definierar skalärfunktionen g ◦ f från M → R. V
och W kan nu verka på dessa skalärfunktioner. Från figur 5.10 har vi att
Låt nu f∗() = W verka på g
Vänsterledet kan skrivas som
eller förkortat
f(ϕ −1 (x)) = ψ −1 (y). (5.28)
f∗()[g ◦ ψ −1 (y)] = [g ◦ f ◦ ϕ −1 (x)]. (5.29)
f∗()[g ◦ ψ −1 (y)] = W µ ∂/∂y µ [g ◦ ψ −1 (y)]. (5.30)
På motsvarande sätt har vi för högerledet
vilket förkortad skrivs
4 Se kapitel 2
f∗ = W α ∂/∂y α . (5.31)
[g ◦ f ◦ ϕ −1 (x)] = V µ ∂/∂x µ [g ◦ f ◦ ϕ −1 (x)]. (5.32)
= V µ ∂/∂x µ . (5.33)
54