Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Kapitel 5 Mångfalder Mångfalder 1 är ett bra och konkret exempel på att den abstrakta matematiken är väsentlig för att förstå den moderna fysiken. Inom allmän relativitetsteori är mångfalder ett ypperligt verktyg för att förenkla fysiken eftersom man jobbar med lokala koordinatsystem som överlappar varandra istället för ett globalt för hela systemet. Einsteins allmänna relativitetsteori använder en fyrdimensionell mångfald för att beskriva rumtiden och andra moderna teorier tillämpar mångfalder av ännu högre dimension. Vi kommer att beskriva mångfalder med generell struktur och begränsar oss därför inte till en viss dimension. En mångfald är ett topologiskt rum, som kan delas in i ”lappar” (patches) vilka lokalt liknar ett rum i R m . Detta gör att man kan ge en punkt p på mångfalden M ett lokalt koordinatsystem. Sfären är ett enkelt exempel på en mångfald där man lokalt över små områden betraktar koordinataxlarna som kartesiska vilket egentligen är en approximation som inte fungerar för hela klotet! Vad har vi mer för krav på en mångfald, förutom att det skall vara ett topologiskt rum? 2 Nedan följer en kort lista på villkor vi måste ställa på en mångfald i) Närliggande punkter skall ha närliggande koordinater i minst ett koordinatsystem. ii) Varje punkt på mångfalden måste ha unika koordinater i varje koordinatsystem som innehåller punkten. iii) När två koordinatsystem överlappar varandra måste de vara relaterade med en glatt (oändligt differentierbar) funktion. Varför är dessa tre krav så viktiga? Det vi vill uppnå är att täcka ett mer eller mindre komplicerat topologiskt rum med ”lappar” där man i princip kan 1 För ytterligare information om mångfalder än vad som ges här se Abraham [16], Penrose [17] eller Flanders [18] 2 I detta kapitel (och alla efterföljande) är det underförstått att alla topologiska rum är Hausdorffrum. 41
Figur 5.1: Mångfald med områden som avbildas på R m med hjälp koordinatfunktionerna ϕi och ϕj. approximera lappen med ett lokalt rum i R n . Detta gör att vi kan använda oss av vår kända matematiska analys på R n . Den matematiska strukturen vi bygger upp skall dessutom vara oberoende av valet av koordinatsystem, vilket aldrig är entydigt. Utan dessa villkor kan vi inte arbeta med differentierbara, eller ens kontinuerliga avbildningar från mångfalden till exempel R n I linje med detta ges nu den formella definitionen: Definition 5.1 (m-dimensionell differentierbar mångfald). Vi säger att ett topologiskt rum M, eller mer exakt (M, T ), är en differentierbar mångfald av dimension m om M kann tillordnas en samling par (Ui, ϕi) så att: i) {Ui} är en samling öppna mängder vilka täcker M, det vill säga Ui ∈ T och ∪iUi = M. ii) ϕi är en homeomorfism från Ui till en öppen delmängd av R m . iii) För varje Ui och Uj som överlappar, det vill säga Ui ∩ Uj = ∅, är avbildningen ψij = ϕi ◦ ϕ −1 j från ϕj(Ui ∩ Uj) till ϕi(Ui ∩ Uj) oändligt differentierbar. 3 I figur 5.1 ser vi två områden på mångfalden betecknade Ui och Uj. (Ui, ϕi) kallas för en karta och {(Ui, ϕi)} kallas en atlas 3 Om detta sista krav inte är uppfyllt har vi inte en differentierbar mångfald, utan bara en mångfald. 42
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?