Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Figur 6.1: Integration av en 2-form.
vi är redo att fortsätta med beräkningen:
f =
S
S
E
=
4π
S
E
+
4π
S
+
= E
4π
= E
1
2 fµν(x(u))J µν (x(u))du 1 ∧ du 2
R sin θ cos φ
R3 J yz (θ, φ)dθ ∧ dφ
R sin θ sin φ
R3 J zx (θ, φ)dθ ∧ dφ
E R cos θ
4π R
S
3 J xy (θ, φ)dθ ∧ dφ
2π
0
π
dθ dθ sin θ = −
0
E
2 cos θ|π 0
Detta resultat visar tydligt att f inte är en exakt form eftersom om den
skulle vara exakt hade integralen varit lika med noll - vilket hade betytt att
ingen energi skulle strömma genom ytan. Fysikalisk tolkning av integralen
är mängden av energi som passerar sfärens yta per tid se figur 6.1
Som avslutning är det intressant att veta vilken typ av energikälla det handlar
om. Detta kan lätt kontrolleras genom att operera med Hodge operator 8
på 2-form.
8 Hodge operator -* är en linjär avbildning ∗ : Ω r (M) → Ω m−r (M) som opererar på en
r-form. Detta kommer att behandlas i nästa kapitel ”Riemann geometri”i avsnittet 8.8.1.
102