Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

För att kunna uttolka Levi-Civita-symbolerna måste vi höja eller sänka alla
= gπγεξκλγ , vilket nu ger
index: ε µν
κλ = gκαgλβε µναβ och ε ξκλ
π
d † F = − 1
4 ∂ξ(Fµν gκα gλβ ε µναβ )gπγ ε ξκλγ dx π . (7.55)
Nästa steg är att utföra summationen och det kan göras på samma sätt
som vi gjorde innan, det vill säga för varje element Fµν i (7.48) så kollar vi
vilka (nollskilda) summationstermer det ger upphov till. Ekvationen (7.55)
ovan har nio summationsindex, men antalet termer är ändå hanterbart, eftersom
Minkowskimetriken är diagonal och ε ξκλγ = 0 så fort ett index dyker
upp två gånger. Kom ihåg att Minkowskimetriken har determinant −1 vilket
betyder att ε ξκλγ = −εξκλγ.
Låt oss kolla på koefficienten F01 som ger upphov till följande termer:
− 1
4 ∂1(F01g22g33ε 0123 )g11ε 0231 dx 1 = − 1
4 ∂0F01dx
− 1
4 ∂0(F01g22g33ε 0123 )g00ε 1230 dx 0 = − 1
4 ∂1F01dt
− 1
4 ∂1(F01g33g22ε 0132 )g11ε 0321 dx 1 = − 1
4 ∂0F01dx
− 1
4 ∂0(F01g33g22ε 0132 )g00ε 1320 dx 0 = − 1
4 ∂1F01dt.
Koefficienten F10 upphov till ger exakt samma termer på grund av antisymmetrin,
det är alltså alltid fyra termer som är likadana. Tillsammans med de
andra koefficienterna får vi nu:
d † F = −∂xExdt − ∂yEydt − ∂zEzdt − ∂tExdx − ∂tEydy − ∂tEzdz
(∂yBz − ∂zBy)dx − (∂xBz − ∂zBx)dy + (∂xBy − ∂yBx)dz
= −ρ dt + jxdx + jydy + jzdz.
Genom att identifiera varje 1-form med en vektor (x µ = wµ), på liknande
sätt som förut, syns det slutligen att d † F = J exakt motsvaras av:
7.9.4 Laplaceoperatorn
∇ × B = J + ∂tE och ∇ · E = ρ. (7.56)
Den externa derivatan och dess adjunkt kan användas för att definiera en
allmän laplaceoperator. En sådan definition bör täcka in laplaceoperatorn
som vi känner till den och det har visat sig att följande är en bra definition:
Definition 7.18 (Laplaceoperatorn). Laplaceoperatorn ∆ : Ω r (M) →
Ω r (M) definieras som ∆ = (d + d†) 2 = dd † + d † d.
Definition 7.19. Vi inför nu en del nya begrepp och upprepar några gamla.
131