Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

tensorprodukter för samma vektorrum, men det kommer inte att inverka eftersom alla tensorprodukter av samma vektorrum är isomorfa, något som kan ses på följande sätt: 3 Låt (T, ρ), (T ′ , ρ ′ ) vara två tensorprodukter av vektorrummen M och N. Det betyder att det existerar en isomorfism f : T → T ′ , så att fρ = ρ ′ Definition 2.4 (Tensordefinition 2). En (n,m)-tensor är en linjär avbildning från ⊗ n V ∗ ⊗ m V till R. Även här ser vi att vi får ut en n-vektor av en (n, m)-tensor, eftersom en n-vektor är dualen till en n-form (duala vektorrummet till ett dualt vektorrum är isomorft med vektorrummet). Detta betyder att en n-vektor verkandes på en n-form bildar en skalär. Mer specifikt är en tensor T som är en linjär funktion från V ∗ → R en vektor, vilket styrker att denna definition är ekvivalent med vår första tensordefinition. Observera att vektorrummen vi rör oss i då vi behandlar mångfalder är som alltid T ∗ p M och TP M, och att en (n, m)-tensor alltså rör sig från ⊗nT ∗ p M ⊗m TpM till R. Vi tar upp detta mer i kapitel 5. Låt oss innan vi går vidare beskriva hur man byter bas för en tensor. Vi ser på exemplena i inledningen av detta avsnitt att en tensor är ett geometriskt objekt, och därför blir uttryckt olika i olika baser. Vi vet även sedan tidigare hur vektorkoefficienterna ändras i olika baser, nu ska vi visa vad som händer med tensorkoefficienterna. Då vi visat basbyte för tensorer kan vi utnyttja det för vektorer - vektorer är som vi nu vet specialfall av tensorer. Låt e1, ..., en och e1 , ..., en vara våra ursprungliga baser för V och V ∗ respektive. Detta betyder att eiej = δij. Säg även att e1 ′, ..., en ′ och e1′ , ..., en′ är våra nya baser för V och V ∗ respektive. Vidare låt P = [p j i ] vara övergångsmatrisen mellan vektorrumsbaserna. Då är det uppenbart att: ei ′ = pj i ′ej (av definitionen för övergångsmatris). Detta ger, med P −1 = [pi j ]t att ei′ = pi′ j ej . Lägg märke till var i’ är, vi använder inversen till P vid basbyte för den duala basen. Sats 2.1. Låt T vara en (k,l)-tensor. Då har vi: T = a i1...ik j1...jl ei1 ⊗ ... ⊗ eik ⊗ ej1 jl ⊗ ... ⊗ e = a i1...ik j1...jl p′ 1 i1 ei1 ⊗ ... ⊗ pi′ keik ⊗ pj1 ik j ′ e 1 j1 ⊗ ... ⊗ p j1 j ′ e 1 jl Dvs a i′ 1 ...i′ k j ′ 1 ...j′ l = p ′ 1 i1 ... p′ k ik ai1...ik j1...jl pj1 j ′ ...p 1 jl j ′ l Vi ser att en vektor (dvs en (1, 0)-tensor) ändrar sina koordinater i basbyte genom multiplikation med P −1 , vilket vi kallar kontravariant. En kovektor däremot ändrar sina koordinater genom multiplikation med P, vilket vi kallar kovariant. Transformationslagarna vi tagit fram ovan betyder att om en bas transformeras på ett visst sätt kommer en vektor transformeras med 3 Brzezinski [6] 19
inversen till basen - roterar en bas åt ett håll roterar vektorkoordinaterna åt andra hållet, vilket motiverar namnet kontravariant. Motsatsen gäller för kovektorer, därav namnet kovariant. Mer allmänt säger vi att en (k, l)-tensor är k-kontravariant och l-kovariant. 2.2 Fler tensordefinitioner Låt MT beteckna matrisen med koordinaterna för tensorn T , då har vi: M ′ T = P −1 MT P. (2.1) Detta leder oss in på nya sätt att tensorer. Det går nämligen att definiera tensorer som ett objekt vilket vid basbyte transformeras enligt ekvationen (2.1) ovan. Den formella formuleringen följer. Definition 2.5 (Tensordefinition 3). Låt B(V ) vara mängden av alla baser i ett vektorrum V . Då säger vi att en (k, l)-tensor är en funktion T , T : B(V ) → R N , {ei} ↦→ (a i1...ik j1...jl ) där N = n k+l , n = dim(V ), sådan att för vilka två baser som helst kommer motsvarande vektorer (a i1...ik p ′ k ik ai1...ik j1...jl pj1 j ′ 1 ... p jl j ′ l j1...jl ) och (ai′ 1 ...i′ k j ′ 1 ...j′ ) att uppfylla a l i′ 1 ...i′ k j ′ 1 ...j′ l = p ′ 1 i1 ... Detta är en bekväm definition, eftersom en tensor nu är ett objekt som transformeras på specifika sätt. Det är alltså ett sätt att påvisa hur användningen av tensorer inom matematik sker, och många egenskaper kan härledas från dessa transformationslagar. En fördel med denna definition är att man från själva definitionen tvingar tensorer att vara geometriska objekt som i grunder är desamma i olika baser, de har bara olika representation i olika baser. En vektor är en viss riktning och sträcka oavsett bas, men själva riktningen och sträckan beskrivs olika beroende på bas. Nackdelen med denna definition är att det kan vara svårt att tolka vad den betyder. Detta är en anledning till varför vi inte väljer tensordefinition 3 som vår huvuddefinition, men den är bland annat populär hos ingenjörer och fysiker. Definition 2.6 (Tensordefiniton 4). En (k, l)-tensor är ett element i tensorprodukten ⊗V k ⊗ l V ∗ . Detta är en kort och koncis definition, det gäller dock att förstå tensorprodukten. Definition 2.7 (Tensordefinition 5). En (k, l)-tensor är en linjär avbildning ⊗ l V → ⊗ k V . 20
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?