Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Innan vi fortsätter behöver vi definiera något som kallas tensorprodukt,
och detta för att tensorprodukten är den mest generella bilinjära operationen.
Vad som menas med detta kommer att bli klarare efter definitionen
nedan. Med hjälp av tensorprodukten kan vi linjärisera våra multilinjära
avbildningar, något som gör dessa lättare att behandla.
Definition 2.3. Tensorprodukten av två vektorrum V, W är ett vektorrum
T och en bilinjär avbildning ρ : V × W → T sådan att för varje vektorrum
Z och varje bilinjär avbildning φ : V × W → Z existerar en och endast
en homomorfism f : T → Z sådan att fρ = φ. Vektorrummet som bildas
kallas tensorproduktrummet av V och W och betecknas V ⊗ W .
Lägg märke till att dim (V ⊗ W ) = dim(V ) · dim(W ).
Det är lätt att göra en analog definition för trilinjära och multilinjära
avbildningar (byt ut bilinjär mot multilinjär och låt avbildningarna vara från
fler vektorrum) för att få en generell definition av tensorprodukt 2 . Viktigt
att lägga märke till är att en bilinjär definition av tensorprodukt använder
sig av två vektorrum, en trilinjär av tre, och så vidare . . . .
En annan intressant egenskap hos den allmänna definitionen av tensorprodukten
för ett godtyckligt antal vektorrum är att tensorprodukten av
rummen V1, ..., Vk, dvs V1 ⊗ ... ⊗ Vk är isomorf med (((V1 ⊗ V2) ⊗ V3)... ⊗ Vk).
Det betyder att det räcker med den bilinjära definitionen då det sedan går
att iterera över de skapade tensorproduktrummen för att få fram den multilinjära
definitionen.
Något att tänka på är om det faktiskt existerar ett vektorrum och en
bilinjär avbildning som uppfyller kraven ovan. Vi bevisar inte detta, men
existensen av tensorprodukt kan bevisas genom direkt konstruktion, se till
exempel Brzezinski [6], s. 59, (4.7).
Låt oss studera om en tensorprodukt som uppfyller ovanstående egenskaper
faktiskt linjäriserar en bilinjär avbildning mellan två vektorrum. Det
kan inses genom följande isomorfismer. Låt Lin(X, Y ) och Bil(X, Y ) beteckna
mängden av alla linjära respektive bilinjära avbildningar mellan X och
Y . Låt även (T, ρ) vara tensorprodukten av M och N. För ett godtycklig
vektorrum P gäller nu:
Lin(T, P ) ∼ = Bil(M × N, P ) ∼ = Lin(M, Lin(N, P ))
Detta betyder att för varje bilinjär avbildning mellan V × W och Z
induceras en unik linjär avbildning från V ⊗ W till Z, och mer generellt
kan vi genom tensorprodukten gå från multilinjära avbildningar till linjära
avbildningar, vilket var vårt mål.
En sista anmärkning är att man kan tänka sig två tensorprodukter T och
T ′ för samma vektorrum M och N, till exempel genom ρ ′ = Aρ för någon
matris A med nollskild determinant. På detta sätt kan man finna många
2 Den allmänna definitionen finns i C
18