Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Definition 7.11 (Holonomigrupp). Med p ∈ M och c(t) som ovan ger parallellförskjutningar längs av X längs c upphov till transformationen Pc : TpM → TpM (7.19) Gruppen av alla sådana transformationer betecknas H(p) och kallas holonomigruppen på p. Gruppoperationen är sammansättningen. I det här fallet innebär det att först låta vektorn parallelförflyttas längs en kurva och sedan längs nästa. Den totala kurvan är sluten och därmed är alltså mängden sluten under gruppoperationen. Som identitetselement har vi transformationen genererad av kurvan som bara består av punkten p. Som invers har vi transformationen som generaras av kurvan genomlöpt i motsatt riktning. Genom att parallellförflytta en vektor från p till en godtycklig punkt q, transformera den på ovan beskrivna sätt och sedan förskjuta resultatet tillbaka till p, kan vi definiera en isomorfi mellan H(p) och H(q) för alla punkter som ligger i en sammanhängande mängd. Det blir då meningsfullt att tala om en holonomigrupp för hela mångfalden, underförstått en holonomigrupp som gäller för varje punkt i mångfalden. 7.7.2 Isometri Isometrier är avbildningar som bevarar längden av vektorer, typexemplet är rotationer och translationer i ett euklidiskt rum. En generell definition av isometri görs i termer av metriken. Definition 7.12 (Isometri). Låt f vara en diffeomorfism och M en Riemannsk eller pseudo-Riemannsk mångfald sådana att f : M → M. Om f bevarar metriken, dvs uppfyller nedanstående ekvation, kallas den en isometri. (7.20) f ∗ g f(p) = gp Ett liknande men något svagare begrepp får vi genom att tillåta f att relatera metrikerna med en skalfaktor, vilket vi beskriver i nästa avsnitt. Det är lätt att inse att identitetstransformationen och den inversa transformationen till en isometri också är isometrier, liksom sammansättning av två isometrier. Alltså finns en isometrigrupp på ett rum, bestående av alla isometrier. Exempel på isometri Exempel 7.4 (Euklidiska rummets isometrier). Vi har nämnt att translationer och rotationer i det euklidiska rummet är isometrier. Vi betraktar R 2 . Diffeomorfismen f är i detta fall f(p) = Ap + T där A ∈ SO(2), T ∈ R 2 . Metriken är δµν. 121
Ekvation 7.20 blir nu på komponentform med kartesiska koordinater {p x , p y } och {f(p) x , f(p) y }: Vilket kan skrivas ∂f(p) α ∂p µ ∂f(p) β ∂p ν gαβ(f(p)) = δµν(p) (7.21) A(α, µ)A(β, ν)gαβ(f(p)) = δµν(p) (7.22) Där g är metriken i punkten f(p). Om denna är δ(f(p)) så är f en isometri. Vi ser att vänsterledet är noll då µ = ν och ett då µ = ν. Vi sätter µ = ν och undersöker vad som händer för olika α och β. Vi tittar på A ∈ SO(2): cos(φ) −sin(φ) (7.23) sin(φ) cos(φ) För α = β och µ = ν får vi en summa av två kancellerande termer i vänsterledet. Ekvationen blir då ej uppfylld eftersom vi har 0 = 1 Det betyder att icke-diagonalelementen inte kan bestämmas på detta sätt. För α = β får vi däremot 2gαβ = 1 ⇔ gαβ = δαβ. Diagonalelementen är alltså ett. Nu sätter vi istället µ = ν. För α = β får vi 0 = 0, det vill säga inget nytt. För α = β får vi 2(cos 2 φ − sin 2 φ)g = δ, vilket kräver att ickediagonalelementen i g är noll. Därmed har vi visat att g(f(p)) = δ och att f är en isometri. 7.7.3 Konforma avbildningar Vi definierar en typ av avbildningar som liknar isometrier men vilka endast kräver att metriken ska vara bevarad så när som på en skalfaktor e 2σ där σ ∈ F(M) är en funktion. Denna skalfaktor gör att det finns många av dessa så kallade konforma avbildningar. Definitionen lyder som följer. Definition 7.13 (Konform avbildning). Låt f vara en diffeomorfism och M en Riemannsk eller pseudo-Riemannsk mångfald sådana att f : M → M. Om f bevarar metriken så när som på en skalfaktor, dvs uppfyller nedanstående ekvation, kallas den en konform avbildning. f ∗ g f(p) = e 2σ gp (7.24) Konforma avbildningar bevarar inte längder, men de bevarar vinklar mellan vektorer, vilket är en karakteristisk egenskap hos konforma avbildningar och kan användas som en alternativ definition . Detta kan vi se genom att undersöka vad vinkeln avbildas på: 122
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?