Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Detta indikerar att vår 2-form är sluten. Fysikalisk tolkning säger att det
inte finns någon annan energikälla förutom den som befinner sig.
Nästa del av beräkningarna beskriver inte bara flödet av solens energi
utan visar även om f är exakt eller ej.
I allmänhet integrerar vi följade 2-form över någon orienterad mångfald
på följande sätt:
S
f =
S
1
2 fµν(x(u))J µν (x(u))du 1 ∧ du 2
(6.2)
I vårt fall S är 2-sfär som vi skall integrera över. Vi följer flervariablersanalys
och parametriserar ytan x µ = x(u), u = (u1 , u2 ) ∈ S med
J µν = e µ
1eν2 −eν1 eµ 2 där e1 och e2 är tangentvektorer till ytan som är definerade
e µ ∂xµ
j = ∂uj och u1 , u2 är lokala kooridinater på mångfalden och (x µ , yν ) =
(y, z), (z, x), (x, y). Vi inför sfäriska koordinater
⎧
⎪⎨ x = R sin θ cos φ
y = R sin θ cos φ
⎪⎩
z = R cos θ
och ersätter u1 = θ och u2 = φ med vinklarna 0 ≤ φ ≤ 2π och 0 ≤ θ ≤ π.
Vi beräknar vidare komponenter av tangentvektorerna
⎧
e x 1
e
⎪⎨
y
1
e z 1
e x 2
e
⎪⎩
y
2
e z 2
= ∂x
∂θ
= ∂y
∂θ
= ∂z
∂θ
= ∂x
∂φ
= ∂y
∂φ
= ∂z
∂φ
= R cos θ cos φ
= R cos θ sin φ
= −R sin θ
= −R sin θ sin φ
= R sin θ cos φ
= 0
och på samma sätt Jakobians komponenter
⎧
⎪⎨ J yz = e y
1ez2 − ez1 ey
⎪⎩
2 = R2 sin2 θ cos φ
J zx = ez 1ezx − ex 1ez2 = R2 sin2 θ sin φ
J xy = e x 1 ey
2
− ey
1 ex 2 = R2 sin θ cos θ
101