Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Definition 7.3 (Pseudo-definition). Om vi har en kurva mellan två punkter, är en affin konnektion något som förflyttar vår vektor längs denna kurva. Detta är faktiskt vad vi kommer uppnå i nästa avsnitt, men än så länge är detta en definition som inte är möjlig att göra eftersom vi inte har något sätt att jämföra tangentrummen för två olika punkter. Nästa avsnitt uppnår detta genom att luta sig på konnektionen, vilken vi försöker få fram här. Vi vet att vi kan translatera tangentrummen mellan punkter på en euklidisk mångfald, och vi vet att varje mångfald lokalt är euklidisk. Detta tillsammans låter oss komma närmare en ordentlig definition av konnektion. Definition 7.4 (Pseudo-definition 2). Om vi har en kurva mellan två punkter som är tillräckligt nära varandra för att vi kan se båda som punkter på en euklidisk mångfald, är en affin konnektion något som förflyttar vår vektor längs denna kurva. Detta är kärnan av vad en affin konnektion är. För att försäkra sig om att punkterna är tillräckligt nära varandra kräver vi att förflyttningen är infinitesimal, vilket är motiveringen bakom att låta en affin konnektion vara den kovarianta derivatan. Vi har redan en definition av den för skalärfält, ∇Xf ≡ X[f], låt oss nu definiera det för vektorfält. Definition 7.5 (Kovariant derivata). Den kovarianta derivatan med avseende på ett vektorfält X betecknat ∇X, är en avbildning ∇ : X (M) 2 → X (M) som uppfyller: • ∇fV +gW Y = f∇V Y + g∇W Y • ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ • ∇ fY ) = Y ∇Xf + f∇XY = X[f]Y + f∇XY Vi har här allmänt krävt de egenskaper vi vill att vår kovarianta derivata ska ha, och på sådant sätt skapat vårt objekt. Denna kovarianta derivata är vad vi menar med en affin konnektion . Vi kommer här att avsluta kapitlet med en kort definition av konnektionskoefficienterna, vilka specificerar hur basvektorerna på en karta ändras från punkt till punkt. Om vi har konnektionskoefficienterna kan vi med andra ord beräkna den kovarianta derivatan av valfritt vektorfält på mångfalden. Definition 7.6 (Konnektionskoefficient). Konnektionskoefficienterna Γ λ νµ är definierade 3 som ∇V eµ ≡ ∇eV eµ = eλΓ λ νµ 3 Lägg märke till att vi för att vara helt strikt formella behöver klargöra att vi rör oss på en karta som innehåller punkten våra basvektorer lever på 113
7.3 Parallellförflyttning Vi har redan konnektionen, som specificerar hur vektorer kan förflyttas, men vi vill finna ett uttryck som även berättar hur vektorer “borde” förflyttas. Det är här parallellförflyttning kommer in. Då man tänker sig den vanliga definitionen på parallellförflyttning inser man snabbt att en ny definition krävs: hur parallellförflyttar man en vektor på en krökt yta som till exempel en sfär? Vår nya definition kommer innehålla kravet att vektorn förflyttas parallellt med avseende på en viss kurva, konnektionen. Definition 7.7. Låt c : [a, b] → M vara en kurva, och X(t) ett vektorfält definierat på kurvan. Låt V vara tangentvektorn till kurvan. Då låter vi parallellförflyttning betyda ∇V X = 0. Detta innebär enligt ovan att givet en konnektion, så ändras inte X i förhållande till tangentvektorn V till kurvan: tangentvektorn är parallell med kurvan i varje punkt vilket motiverar definitionen. Betänk att konnektionen är den kovarianta derivatan, alltså en infinitesimal förflyttning. Detta betyder att parallellförflyttningen kan fås genom att integrera konnektionen. Det kan vi tolka det som att parallellförflyttningen är en lokal 4 manifestering av konnektionen. Vi kan gå andra hållet och ta fram konnektionen ur en parallelltransport genom att lösa medföljande differentialekvationer. 7.3.1 Geodetisk linje Då vi nu har parallelllförflyttning kan vi börja angripa problemet med att vi i allmänhet inte har några raka linjer på mångfalder. I detta avsnitt ska vi generalisera vår definition av rak linje och se hur vi kan applicera det på mångfalder. En rät linje är en kurva sådan att om vi parallellförflyttar dess tangentvektor i någon punkt längs med kurvan kommer den flyttade tangentvektorn alltid att vara parallell med kurvan. En linje som uppfyller detta kallar vi geodetisk. Definition 7.8. En geodetisk linje är en kurva c(t) med tangentvektor V sådant att ∇V V = 0 Vi kan se att mellan två punkter kommer det inte att finnas en unik geodetisk linje. Tänk på ett badkar: om du börjar i mitten på ena kortsidan och ska till mitten på andra kortsidan kommer du att få minst två geodetiska linjer. Ett annat exempel är sfären där det finns oändligt många geodetiska linjer mellan sydpolen och nordpolen. 4 Lägg dock märke till att trots att parallellförflyttningen är lokal är den större"än konnektionen - som är infinitesimal 114
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?