Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
som är noll. Det är enkelt att se när Riemanntensorn <strong>för</strong>svinner, men Riemanntensorn<br />
<strong>för</strong>svinner inte bara <strong>för</strong> metriker med konstanta koefficienter.<br />
Alla endimensionella metriker har en <strong>för</strong>svinnande Riemanntensor men den<br />
<strong>för</strong>svinner också <strong>för</strong> till exempel metriken (i två dimensioner)<br />
<br />
x 0<br />
(gµν) = . (8.4)<br />
0 1<br />
Metriken med komponenterna<br />
(gµν) =<br />
<br />
xy 0<br />
0 1<br />
(8.5)<br />
däremot har både nollskild Riemanntensor, nollskild Riccitensor <strong>och</strong> nollskild<br />
skalär kurvatur.<br />
Mycket längre än så vill vi inte gå i letandet efter vakuumlösningarna<br />
till Einsteins fältekvation, men det finns mycket forskning <strong>och</strong> en stor teori<br />
kring dessa. Det är mycket svårare att hitta lösningar där Riccitensorn <strong>för</strong>svinner<br />
<strong>för</strong> fall då Riemanntensorn inte <strong>för</strong>svinner. Det är dock ofta dessa<br />
som är intressanta <strong>och</strong> sådana metriker dyker upp i till exempel strängteori.<br />
Mångfalder med en metrik som uppfyller Einsteins fältekvation i vakuum<br />
brukar kallas Einsteinmångfalder <strong>och</strong> studiet av dessa är intressant även ur<br />
en rent matematisk synpunkt. Den intresserade läsaren hänvisas till Besse<br />
[11]. För att ge ytterligare ett exempel på hur nära differential<strong>geometri</strong> <strong>och</strong><br />
topologi är sammankopplade, så kommer här (utan <strong>för</strong>klaring) ett resultat<br />
från Hitchin <strong>och</strong> Thorpe:<br />
Sats 8.2 (Hitchin-Thorpe olikheten). För att en kompakt, orienterbar,<br />
glatt 4-mångfald skall kunna tillåta en riemannmetrik som uppfyller Einsteins<br />
fältekvation i vakuum (8.3) måste följande gälla:<br />
χ(M) ≥ 3<br />
2 |τ(M)|,<br />
där χ(M) är mångfaldens eulerkarakteristik <strong>och</strong> τ(M) dess signatur.<br />
8.2 Friedmann–Robertson–Walker-lösningen<br />
Robertson-Walker metriken är en lösning till Einsteins fältekvation (8.1) som<br />
beskriver ett rumsligt homogent <strong>och</strong> isotropt universum. I tillräckligt stor<br />
skala uppfyller vårt verkliga universum kraven på homogenitet <strong>och</strong> isotropi<br />
<strong>för</strong>vånansvärt bra. Av denna anledning utgör Robertson-Walkermetriken<br />
(<strong>och</strong> Friedmannekvationerna som härleds med den) fortfarande grunden <strong>för</strong><br />
standardmodellen inom modern kosmologi. Robertson-Walkermetriken kan<br />
härledas formellt med hjälp av Killingvektorer, men vi ger här endast en<br />
136
Change language