Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

5.3.1 Regler och samband för Liederivatan
Liederivatan kan enklast skrivas som
[ ˜ X, ˜ Y ] = [ ˜ X, ˜ Y ]f = ˜ X
˜Y [f] − ˜
Y X[f] ˜
(5.59)
där ˜ Y [f] och ˜ X[f] alltså är skalära funktioner. Detta visas enkelt om vi
skriver
˜X = ˜ X µ ∂/∂x µ
˜Y = ˜ Y µ ∂/∂x µ
Låt nu ˜ X verka på ˜ Y [f] och vice versa:
˜X ˜Y [f] = ˜ X µ ∂/∂x µ Y˜ ν ν
∂f/∂x
˜Y ˜X[f] = ˜ Y µ ∂/∂x µ X˜ ν ν
∂f/∂x
⇒ [ ˜ X, ˜ Y ]f = ˜ X µ ∂ ˜ Y ν
=
˜X µ ∂ ˜ Y ν
∂x µ − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ
(5.60)
(5.61)
∂x µ ∂f/∂xν + ˜ X µ Y˜ ν ∂2f ∂x µ ∂xν − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ − ˜ X µ Y˜ ν ∂2f
∂f
∂x ν
Härav ser vi att Liederivatan är ett vektorfält med koordinaterna
˜X µ ∂ ˜ Y ν
∂x µ − ˜ Y µ ∂ ˜ Xν ∂x µ
i en bas ν = ∂f
∂x ν . För ett godtyckligt vektorfält gäller att
˜X[hk] = h ˜ X[k] + ˜ X[h]k
∂xν =
∂x µ
(5.62)
(5.63)
där h och k är funktioner. Alltså differentierar ˜ X den funktion man låter
den verka på.
Exempel 5.4.
L f ˜ X ˜ Y = [f ˜ X, ˜ Y ] = f ˜ X
˜Y − ˜
Y f( ˜
X) =
= f ˜ X[ ˜ Y ] − f ˜ Y [ ˜ X] − ˜ Y [f][ ˜ X] = f[ ˜ X, ˜ Y ] − ˜ Y (f)[ ˜ X] (5.64)
Här har regeln för differentiering av produkt använts.
Exempel 5.5.
L ˜ X [f ˜ Y ] = [ ˜ X, f ˜ Y ] = ˜ X[f ˜ Y ] − f ˜ Y
˜X =
= f ˜ X[ ˜ Y ] + ˜ X[f] ˜ Y − [ ˜ Y [ ˜ X]] = f[ ˜ X, ˜ Y ] + ˜ X[f] ˜ Y (5.65)
59