Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Man kan fråga sig om inte det omvända gäller: att slutna former också
är exakta, eftersom fallet varit så i våra tidigare exempel. Anledning till
detta är att R n är en mångfald som beter sig snällt och nästa avsnitt ska vi
undersöka vilka krav vi måste ställa på mångfalden för att varje sluten form
även ska vara exakt.
6.1.3 Poincarés lemma
Vi har lärt oss att varje exakt r-form är sluten, detta eftersom den externa
derivatan av en exakt form är noll. Från vektorfälten känner vi även till
att rotationsfria fält har en potential, vilket översatt till formspråk betyder
att slutna former är exakta. Detta betyder att då vi har behandlat dessa
situationer i vektorfält är sluten och exakt form ekvivalenta. Detta gäller
dessvärre inte generellt sätt.
Exempel 6.1. Låt d θ vara en 1-form, med θ definierad som vanligt - vinkeln
mot ena koordinataxeln, definierad på R2 \ {0}. Den är då sluten men inte
exakt. Man inser utan svårighet att den är sluten, men för att se att den inte
är exakt behöver man beräkna integralen ett varv runt origo.
γ
d θ = 2π då
γ är ett slutet varv runt origo, orienterat medurs. Notera att θ inte är globalt
definierat, eftersom vinkeln är samma varje heltaligt varv. Det är detta som
gör att formen inte är exakt.
Exempel 6.2. Låt d θ vara definierad som i exemplet ovan, men nu på ett
snittat plan: R 2 \ {(x, 0), x ≤ 0}. I detta fall är vår 1-form både sluten och
exakt, vilket kan inses eftersom θ nu är globalt definierad - men även via
Poincarés lemma som snart följer. 5
Vi kan observera en viktig detalj om slutna former: integralen av en
sluten form runt en sluten kurva är inte alltid noll, det sammanfaller bara
då formen är exakt. Poincarés lemma knyter ihop dessa begrepp och visar
när vi kan förvänta oss att en sluten form också är exakt. Detta beror på hur
mångfalden, som är definitionsmängden för vår form, beter sig.
Lemma 6.1 (Poincarés lemma). Om en koordinatomgivning U av en mångfald
M kan deformeras kontinuerligt till en punkt p0 ∈ M så är varje sluten
r-form på U även exakt. 6
Lägg märke till att i exemplet ovan kan vi deformera definitionsmängden
kontinuerligt till origo för vår form. Dock ligger origo inte i definitionsmångfalden
för vår form och alltså gäller inte teoremet i det fallet.
5 Detta är likt hur man i komplex analys använder principalgrenen till logaritmer, vilket
inte är ett sammanträffande som vi kommer se nedan.
6 För bevis hänvisar vi till s. 235 [1]. Notera att detta är en intuitiv formulering som
duger för våra syften, men som inte är matematisk korrekt.
98