Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

den kommer ha lika många hörn, kanter och sidor efter förvrängningen som före. Vi sätter en sjö i mitten av varje sida. Vi låter det nu börja regna på planeten, och detta regnet fortsätter tills alla kanter är under vatten och det enda som ses är hörnen. Vi betänker nu hur detta påverkar våra vatten- och landmassor. Vid start har vi F sjöar och en landmassa. Varje gång en kant försvinner under vattnet har antingen två sjöar gått ihop (vilket innebär att antalet sjöar går ner med ett), eller en sjö gått ihop med sig själv och skapat en ö (så antalet landmassor går upp med ett). Till slut är det en vattenmassa och V landmassor kvar. Detta betyder att det har varit F − 1 översvämmningar som minskat antalet sjöar, och V − 1 översvämningar som har skapat landmassor. Men det var totalt E översvämningar. Detta betyder att E = (F − 1) + (V − 1) = F + V − 2. QED. Eulerkarakteristiken kan sammanfattas med att den beskriver ett topologiskt rums struktur oavsett hur rummet böjs vilket vi ser genom vårt illustrativa bevis för satsen ovan. Vi definierar nu en allmän kropps eulerkarakteristik som eulerkarakteristiken av en månghörning den är homeomorf med. Benämn en kropp K och en månghörning X, där månghörningen är homeomorf med kroppen. Då gäller χ(K) ≡ χ(X). Detta kommer inte att bero på valet av månghörning 3 , vilket följer vår intuition om att ett topologiskt rums form måste vara samma genom homeomorfismer. Låt oss ta ett exempel på hur eulerkarakteristiken kan användas för att lösa en fråga om fyrfärgsteoremet. Exempel 4.1 (Fyrfärgsteoremet och eulerkarakteristik). Fyrfärgsteoremet säger att varje karta med med olika (sammanhängande) områden kan färgläggas med mest fyra färger sådant att inga områden som gränsar till varandra har samma färg. En gräns får inte vara en punkt vilket betyder att en uppdelning av en cirkel i tårtbitar inte är något motexempel. Efter att ha tänkt lite kan man fråga sig varför man inte kan skapa en karta med fem områden som alla gränsar till varandra. Även om vi kan visa att detta inte är möjligt har vi dock inte bevisat fyrfärgsteoremet, utan bara bevisat att ett specifikt motexempel inte fungerar. Bevis 4.2 (Motsägelsebevis). Antag att vi kan rita en sådan karta. Låt oss sätta ut en punkt i varje område, i analogi till kartan kan punkterna vara städer i områdena. Varje par av områden gränsar till varandra och alltså kan 3 Om vi kan visa att Eulerkarakteristiken är en topologisk invariant är vi färdiga. Detta eftersom om kroppen K är homeomorf med månghörningarna K1 och K2 måste de vara homeomorfa med varandra. Ett standardsätt att visa att χ är topologiskt invariant är genom att använda satsen som knyter samman den med bettitalen, eftersom homologi är topologiskt invariant. 33
Figur 4.2: Exempel på en karta med fyra färger Figur 4.3: En plan graf som symboliserar en kub, där punkterna är hörn, linjerna är kanter, och ytorna är sidor. vi dra streck mellan alla punkter utan att något av strecken skär varandra. Detta ger oss en plan graf4 . Varje plan graf har eulerkarakteristik 2, eftersom vi ur varje plan graf kan skapa en konvex månghörning. Se bild för ett exempel. Lägg märke till att vi har en sida mellan de fyra yttre hörnen på grafen också. Eftersom vi har tio kanter och fem hörn, måste antalet sidor vara sju. Varje sida i grafen begränsas av minst tre kanter, och varje kant är (del- )rand till två sidor. Eftersom vi har tio kanter ( 4 i=1 i = 10) kan det som mest finnas sex sidor. Detta har vi precis visat är omöjligt vilket betyder att en sådan graf inte uppfyller att eulerkarakteristiken av den är två, och då kan det inte vara en plan graf. Sats 4.3 (Eulerkarakteristiken för produktrummet är produkten av eulerkarakteristiken för rummen). χ(M × N) = χ(M) · χ(N) där M × N är produktrummet av M och N. 4 En plan graf är en graf som kan ritas på ett papper utan att någon av linjerna skär varandra 34
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24: inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26: Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?