Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Definition 7.3 (Pseudo-definition). Om vi har en kurva mellan två punkter,
är en affin konnektion något som förflyttar vår vektor längs denna kurva.
Detta är faktiskt vad vi kommer uppnå i nästa avsnitt, men än så länge
är detta en definition som inte är möjlig att göra eftersom vi inte har något
sätt att jämföra tangentrummen för två olika punkter. Nästa avsnitt uppnår
detta genom att luta sig på konnektionen, vilken vi försöker få fram här.
Vi vet att vi kan translatera tangentrummen mellan punkter på en euklidisk
mångfald, och vi vet att varje mångfald lokalt är euklidisk. Detta tillsammans
låter oss komma närmare en ordentlig definition av konnektion.
Definition 7.4 (Pseudo-definition 2). Om vi har en kurva mellan två punkter
som är tillräckligt nära varandra för att vi kan se båda som punkter på
en euklidisk mångfald, är en affin konnektion något som förflyttar vår vektor
längs denna kurva.
Detta är kärnan av vad en affin konnektion är. För att försäkra sig om
att punkterna är tillräckligt nära varandra kräver vi att förflyttningen är
infinitesimal, vilket är motiveringen bakom att låta en affin konnektion vara
den kovarianta derivatan. Vi har redan en definition av den för skalärfält,
∇Xf ≡ X[f], låt oss nu definiera det för vektorfält.
Definition 7.5 (Kovariant derivata). Den kovarianta derivatan med avseende
på ett vektorfält X betecknat ∇X, är en avbildning ∇ : X (M) 2 →
X (M) som uppfyller:
• ∇fV +gW Y = f∇V Y + g∇W Y
• ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ
• ∇ fY ) = Y ∇Xf + f∇XY = X[f]Y + f∇XY
Vi har här allmänt krävt de egenskaper vi vill att vår kovarianta derivata
ska ha, och på sådant sätt skapat vårt objekt. Denna kovarianta derivata är
vad vi menar med en affin konnektion .
Vi kommer här att avsluta kapitlet med en kort definition av konnektionskoefficienterna,
vilka specificerar hur basvektorerna på en karta ändras
från punkt till punkt. Om vi har konnektionskoefficienterna kan vi med andra
ord beräkna den kovarianta derivatan av valfritt vektorfält på mångfalden.
Definition 7.6 (Konnektionskoefficient). Konnektionskoefficienterna Γ λ νµ
är definierade 3 som
∇V eµ ≡ ∇eV eµ = eλΓ λ νµ
3 Lägg märke till att vi för att vara helt strikt formella behöver klargöra att vi rör oss
på en karta som innehåller punkten våra basvektorer lever på
113