Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Figur 5.17: En liegruppinducerad avbildning. Jämför med figur 5.10 i avsnitt 5.2.6 där Sedan tidigare har vi sambanden V = V µ ∂/∂x µ W = W α ∂/∂y α W α = V µ ∂yα (x) ∂x µ (5.180) (5.181) (5.182) är koordinattransformationen enligt tidigare avsnitt 5.2.6. Koordinaten y α för ag betecknar vi med x α (ag). Det gäller nu att relatera ovanstående till vektorfält över G på ett naturligt sätt. När man studerar avbildningar från en struktur till en annan är kanske den mest naturliga frågan: Vilka strukturer bevaras under avbildningen, det vill säga är invarianta? Man inför därför följande definition: Definition 5.15 (Vänsterinvariant vektorfält). Låt X vara ett vektorfält på en Liegrupp G. X kallas för ett vänsterinvariant vektorfält om La∗X|g = Xag. Detta betyder med andra ord att avbildningen La∗ bibehåller vektorfältet X:s struktur på hela G. Vi vill nu skriva definitionen på koordinatform. Vi använder därför beteckningarna i figur 5.5.1: V = X|g, W = La∗X|g, y α = x α (ag) (5.183) 83
Sambanden (5.180) och (5.182) sätts in i definitionen och vi får: X ′ |ag = La∗X|g = enligt (5.182) = X µ (g) ∂xα (ag) ∂x µ ∂/∂x α |ag = = X α (ag)∂/∂x α |ag = X|ag (5.184) Man kan nu definiera ett invariant vektorfält på hela G genom att välja någon lämplig vektor V i ett tangentrum och låta avbildningen La∗ definiera ett vektorfält. Det naturliga valet är att välja en vektor i tangentrummet till enhetselementet V ∈ TeG och man kan nu definiera ett vektorfält XV för varje punkt i G XV |g = Lg∗V (5.185) vilket automatiskt blir invariant vilket man inser om man skriver XV |ag = Lag ∗V = (LaLg)∗V = La ∗(Lg ∗V ) = La ∗XV |g Omvänt definierar ett vänsterinvariant vektorfält X en unik vektor (5.186) V = X|e ∈ TeG (5.187) Mängden av vänsterinvarianta vektorfält på G kommer vi att beteckna med g och avbildningen TeG → g definerad som V ↦→ XV beskriver en isomorfism mellan g och TeG. Härav ser man direkt att g är ett vektorrum som är isomorft med vektorrummet TeG. Vi har nu fått fram det vektorrum på vilket vi ska definiera en liealgebra. En viktig egenskap hos vänsterinvarianta vektorfält är att kommutatorn av två vänsterinvarianta vektorfält också är vänsterinvariant. Med andra ord kan vi visa att g är sluten under liebracketen om vi låter La∗ verka på den: La∗[X, Y ]g = [La∗X|g, La∗Y |g] = [X, Y ]|ag där X, Y ∈ g Vi summerar nu ovanstående i en formell definition: (5.188) Definition 5.16 (Liealgebra). Mängden av vänsterinvarianta vektorfält g över någon kropp K tillsammans med liebracket [, ]: g × g → g som uppfyller föjande villkor • skevsymmetri: [a, b] = −[b, a] ∀a, b ∈ g • Jacobi-identiteten: [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 ∀a, b, c ∈ g • bilinjäritet: [ax+by, z] = a[x, z]+b[y, z], [z, [ax+by]] = a[z, x]+b[z, y] ∀a, b ∈ K och ∀x, y, z ∈ g kallas för liealgebran av en liegrupp. 84
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76: eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?