Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi har e tA = P e tD P −1
⎛
1 −1
⎞ ⎛
1/2 e
= ⎝−1
2 −1/2⎠
⎝
1 1 1
t 0 0
0 e2t 0
0 0 e−t ⎞ ⎛
5 3
⎞
−1
⎠ ⎝ 1 1 0 ⎠ (5.197)
−6 −4 2
⎛
⎞
= ⎝
5et − e2t − 3e−t 3et − e2t − 2e−t −et + e−t −5et + 2e2t + 3e−t −3et + 2e2t + 2e−t et − e−t 5et + e2t − 6e−t 3et + e2t − 4e−t −et + 2e−t Och den allmänna lösningen blir x(t) = etA ⎝
⎛
C1
C2
C3
⎞
⎠
⎠ (5.198)
där C1, C2, C3 är konstanter. Lösningen till just detta problem får vi till:
x(t) = e tA
⎛ ⎞
−2
⎛
⎞
⎝ 1 ⎠ = ⎝
4
⎠ (5.199)
−11e t + e 2t + 8e −t
11e t − 2e 2t − 8e −t
−11e t − e 2t + 16e −t
Detta är ett typexempel på hur man kan utnyttja exponentialfunktionen
för att lösa linjära differentialekvationer.
5.5.3 Liegruppernas verkan på mångfalder.
Vi har sett att en liegrupp G via gruppoperationen kan användas som en
transformation på mångfalden G, där varje punkt i G samtidigt är ett gruppelement.
För att studera en mer allmän situation skall vi försöka att abstrahera
en bakomliggande mer allmän struktur rörande samspelet mellan
en grupp och geometrin. I avsnittet ”Flöden och liederivatan” konstruerade
vi en avbildning σ : R × M → M. Här verkar R som en abelsk grupp på M.
Vi formulerar en generalisering av detta i följande definition
Definition 5.19 (Liegruppernas verkan på mångfald). Låt G vara någon
liegrupp och M vara en glatt mångfald. En glatt verkan av G på M är en
gruppdiffeomorfism
så att den associerade avbildningen
upfyller följande villkoren
i σ(g1, σ(g2, p)), ∀g1, g2 ∈ G
ii σ(e, p) = p, ∀p ∈ M
G → Diff(M)
σ : G × M → M
90