Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Om vi nu istället skapar en inre produkt mellan element av homologigruppen
Hr(M) och kohomologigruppen H r (M) kan vi visa att Hr(M) är en dual
till kohomologigruppen H r (M). Låt [c] ∈ Hr(M) och [ω] ∈ H r (M) och
vi definerar återigen en inre produkt mellan dessa element Λ : Hr(M) ×
H r (M) → R som
Λ : ([c], [ω]) ≡ (c, ω) = ω. (6.10)
Sats 6.4 (de Rhams teorem.). Om M är en kompakt mångfald och Hr(M)
respektive H r (M) är ändlig dimensionella och avbildningen
Λ : Hr(M) × H r (M) → R
är bilinär och icke-degenererad då är H r (M) det duala vektorummet av
Hr(M).
Dualiteten är en viktig egenskap som bland annat medför att Hr(M) är
isomorft med H r (M). Det finns fler exempel på liknande isomorfism mellan
homologi och kohomologigrupper
• H 0 (M) ∼ = H0(M) ∼ = R ⊕ · · · ⊕ R
ponenter
• H 1 (S 1 ) ∼ = H1(S 1 ) ∼ = R
n
c
om M har n-sammanhängande kom-
Vidare kan vi även visa att det finns en relation mellan Bettital och respektive
homologi och kohomologigrupper. De tidigare definerade Bettitalen kan
skrivas som
br(M) ≡ dim Hr(M) (6.11)
där dimHr(M) kallas för r-te Bettital av M. Detta medför att vi kan introducera
följande relation
b r ≡ dim H r (M) = dim Hr(M) = br(M)
vilket återigen indikerar på ett starkt samband mellan homologi- och kohomologiteori.
Man kan också uttrycka Eulerkarakteristiken på följande sätt
χ(M) =
m
r=1
(−1) r b r (M). (6.12)
Den sista ekvationen utgör en direkt länk mellan topologi och analys eftersom
vänsterled är en topologisk invariant som karakteriserar topologiska rum och
högerled innehåller ett rent analytiskt uttryck.
105