Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

samma antal element vilket vidare innebär att två isomorfa grupper har samma
struktur och skiljer sig egentligen bara i notation. Det finns inget matematiskt
skäl att skilja dem åt. En isomorfism bevarar alla relevanta egenskaper
hos grupperna, såsom egenskapen att vara abelsk. Ett exempel på isomorfa
grupper kan vara mängderna {0, ±1, ±2, ...} och {zero, ±one, ±two, ...}
under addition.
Exempel 1.1 (Logaritmen). Logaritmfunktionen med bas tio log 10 (x) är
definierad för positiva reella x som lösningen till 10 log 10 x = x. Den avbildar
x mindre än ett på ett negativt reellt tal, x = 1 på noll och x > 1 på positiva
reella tal. Den är surjektiv och injektiv med exponentialfunktionen av bas
tio som invers, och alltså är den en bijektion. Notera att kardinaliteten av R
är densamma som för R + , som vi förutsade ovan.
Vi avbildar nu en produkt i R + på R med logaritmen. 10 log 10 xy = xy,
men 10 log 10 x = x och 10 log 10 y = y ger 10 log 10 xy = xy = 10 log 10 x 10 log 10 y =
10 log 10 x+log 10 y . Gruppoperationen bevaras och vi har visat att logaritmen
är en isomorfi mellan {R + , ·} och {R, +}. Detta gör att multiplikation kan
ersättas med addition av logaritmer, som kan samlas i tabeller. En särskilt
kompakt logaritmtabell är räknestickan, som var utbredd förr när det var
bättre.
1.2.2 Homomorfi
Begreppet homomorfi liknar isomorfi men har svagare krav. En homomorfi
bevarar operationen men behöver varken vara injektiv eller surjektiv. Isomorfismer
är specialfall av homomorfismer och definitionen är snarlik:
Definition 1.4 (Homomorfi). Låt G vara en grupp under operationen ∗ och
låt H vara en grupp under operationen ·. En homomorfism från G till H är
en avbildning Θ : G → H sådan att Θ(a ∗ b) = Θ(a) · Θ(b) ∀a, b ∈ G.
Många egenskaper hos isomorfismer gäller även för homomorfismer:
• Θ(eG) = eH
• Θ(a −1 ) = (Θ(a)) −1
• Θ(a k ) = Θ(a) k
Eftersom en homomorfism inte behöver vara bijektiv, kan mer än ett
element ur G avbildas på samma element i H. De element som avbildas på
enhetselementet är särskilt viktiga och har fått ett eget namn.
Definition 1.5 (Kärnan). Låt Θ : G → H vara en homomorfism. Mängden
av alla element a ∈ G sådana att Θ(a) = eH kallas kärnan av Θ och
betecknas kerΘ.
12