Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Där ε och p eventuellt kan vara funktioner av tiden t. Utifrån dessa resultat kan vi nu ta fram formen av Einsteins fältekvationer för Robertson-Walker metriken. Det gäller alltså att förenkla Rµν − 1 2 gµνR = 8πGTµν. (8.13) Där gµν ges av (8.11) och Tµν av (8.12). För att ta fram Riccitensorns komponenter kontraherar vi indexen i formeln för Riemanntensorns komponenter för att få Rµν = R λ µλν = ∂λΓ λ µν − ∂νΓ λ µλ + Γη µνΓ λ ηλ − Γη µλ Γλ ην (8.14) Vi använder oss av Levi-Civita-konnektionen varpå konnektionskoefficienterna ges av Christoffelsymbolerna Γ λ λ µν = = µν 1 2 gλη (∂µgνη + ∂νgµη − ∂ηgµν) (8.15) Det framgår direkt ur ekvationen ovan (och ur definitionen av Levi- Civita-konnektionen) att Γλ µν = Γλ νµ, vi har alltså 4+2−1 2 · 4 = 40 stycken konnektionskoefficienter att beräkna. Flera av dessa blir dock noll, till exempel blir koeffecienten noll om alla index är olika eftersom metriken är diagonal. Det är 13 + 6 (pga. symmetrien) koefficienter som inte blir noll: Γ 0 11 = ˙ AA 1 − kr 2 , Γ0 22 = ˙ AAr 2 , Γ 0 33 = ˙ AAr 2 sin 2 θ Γ 1 11 = rk 1 − kr2 , Γ122 = −r(1 − kr 2 ), Γ 1 33 = −r(1 − kr 2 ) sin 2 θ Γ 2 12 = Γ 3 13 = 1 r , Γ233 = − sin θ cos θ, Γ 3 23 = cot θ Γ 1 01 = Γ 2 02 = Γ 3 03 = ˙ A A För tydlighetens skull visar vi hur en sådan koefficient beräknas, de andra beräknas analogt. Vi använder ekvation (8.15) och beräknar Γ1 22 . Läsaren bör dra sig till minnes vad indexen står för, x µ = (t, r, θ, φ), dessutom så är metriken diagonaliserad och dess koefficienter ges av (8.11). Summationskon- ventionen måste naturligtvis beaktas. Γ 1 22 = 1 2 g1η (∂2g2η + ∂2g2η − ∂ηg22) = 1 2 g11 (−∂rg22). Kom ihåg att gµνg νλ = δ λ µ, vilket innebär att g 11 = − 1−kr2 A 2 och alltså har vi Γ 1 22 = 1 2 (− 1−kr2 A 2 )(−∂r(−A 2 r 2 )) = −r(1 − kr 2 ). Nästa steg är att använda ekvation (8.14) för att beräkna Riccitensorns koefficienter Rµν. Dessa beräkningar förenklas avsevärt genom att inse att koefficienterna är noll så fort µ = ν, något som följer av vårt krav på isotropi. Vi måste alltså bara beräkna fyra koefficienter. Den första är R00 = ∂λΓ λ 00 − 139
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη − Γη beräknas på samma sätt. Vi får: 0λ Γλ 0η = 0 − 3 · ∂0Γ 1 01 + 0 − 3 · Γ1 01 Γ1 01 R00 = −3 Ä A 1 R11 = (ÄA + 2A˙ 1 − kr2 2 + 2k) R22 = r 2 ( ÄA + 2A˙ 2 + 2k) R33 = r 2 sin 2 θ( ÄA + 2A˙ 2 + 2k) Ä = −3 A och de andra Utifrån detta kan vi beräkna den skalära kurvaturen R = g µνRµν = g00R00 + g11R11 + g22R22 + g33R33 = − 6 A2 ( ÄA + A˙ 2 + k). Nu har vi kommit så långt att det är möjligt att skriva ut Einsteins fältekvation (8.13) i komponentform. För 00-komponenten får vi: R00 − 1 2 g00R = 8πGT00 ⇔ −3 Ä A − 1 2 6 (− )(ÄA + A˙ A2 2 + k) = 8πGε Omskrivning ger nu: A˙ 2 k 8 + = πGε (8.16) A2 A2 3 På grund av antagandet om isotropi är 11-, 22- och 33- komponenterna desamma och vi får dessa till 2ÄA + A˙ 2 + k = −8πGpA 2 . (8.17) Ekvationerna (8.16) och (8.17) ovan brukar kallas för Friedmannekvationerna och de utgör grunden för flera viktiga modeller av vårat universum. Låt oss undersöka närmare vad Friedmannekvationerna säger. Konstanten k beskriver formen av universum: För k = 1 har vi ett slutet universum med positiv kurvatur (dvs. sfärformigt), för k = −1 är universums kurvatur negativt (dvs. hyperboliskt formad) och för k = 0 är det platt. Skalfaktorn A(t) beskriver universums expansion eller kontraktion med tiden. Galaxer som vid en viss tid befinner sig på ett avstånd d0 ifrån varandra, kommer efter tiden t att befinna sig på ett avstånd d(t) = A(t)d0 ifrån varandra. Genom att sätta in ˙ A2 från (8.16) i (8.17) fås följande ekvation: Ä A = −4 (ε + 3p). (8.18) 3 Här så syns det hur den (relativa) accelerationen av universums expansion är relaterad till energitätheten och trycket. På grund av det negativa tecknet kan det direkt synas att universum bör expandera allt långsammare. På grund av energi-masskonservering bör dessutom både trycket och energitätheten minska när expansion sker och därför så borde denna deacceleration 140
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?