Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Kapitel 8
Tillämpningar i allmän
relativitetsteori
Man brukar säga att matematik är naturens språk. Detta går kanske att diskutera,
men vi kan åtminstone med full tillförsikt konstatera att differentialgeometri
är språket som används för att beskriva gravitation. Grundinsikten
i den allmänna relativitetsteorin är att massan kröker rumtiden. Vi brukar
föreställa oss universum som ’platt’, men i själva verket så beskrivs rumtiden
bäst som en krökt mångfald, och vi behöver alltså all den matematik som vi
hittills har tagit upp för att få en bra förståelse för gravitationen.
Förhållandet att massan kröker rumtiden uttrycks matematiskt koncist
med Einsteins fältekvation. 1
Sats 8.1 (Einsteins fältekvation).
Gµν = 8πGTµν
(8.1)
Vänsterledet uttrycker kurvaturen av rumtiden, medans högerledet beskriver
energin och rörelsemängden i rumtiden. Vi kommer att studera i
detalj vad denna ekvation betyder och vad den kan säga om universum.
Einsteins fältekvation är en tensorekvation, i vänsterledet står Einsteintensorn
Gµν och i högerledet energi-rörelsemängdstensorn Tµν. Einsteintensorn
definieras som
Gµν ≡ Rµν − 1
2 gµνR. (8.2)
Riccitensorn definieras som kontraktionen av Riemanntensorn Rµν ≡ R λ µλν
och den skalära kurvaturen definieras som kontraktionen av Riccitensorn
1 Notera att Einsteins fältekvation ibland brukar skrivas Gµν + gµνΛ = 8πG
c 4 Tµν där Λ
kallas den kosmologiska konstanten. I denna framställning så betraktar vi istället denna
term som en del av Tµν, något som bland annat kan motiveras med att Λ troligen härrör
ifrån vakuum-kvantfluktuationer. Vi använder också enheter så att c = 1.
134