Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Vi byter koordinatsystem<br />
ϕi(p) → ϕj(p) ⇒ (5.23)<br />
w = wµdx µ = ˜wµdy µ<br />
(5.24)<br />
Låt nu w verka på ∂/∂y ν . Vi får då från sambandet (5.24)<br />
∂x<br />
wµ<br />
µ<br />
∂yν = ˜wδµ ν = ˜wν<br />
(5.25)<br />
det vill säga vi har fått koordinaterna uttryckte i de gamla koordinaterna.<br />
5.2.4 Vektorer <strong>och</strong> vektorfält<br />
Antag att vi har en familj kartor på M med tillhörande koordinatsystem. Vi<br />
har nu definierat en glatt funktion f : M ↦→ R m på varje koordinatomgivning<br />
Ui, dvs en glatt funktion i m koordinater till R. Detta är en skalärfunktion<br />
(eller ett skalärfält). Man kan nu gå vidare <strong>och</strong> definiera ett vektorfält V på<br />
M med den <strong>geometri</strong>ska tolkningen som en mängd pilar. V är en storhet<br />
som verkar på varje skalärfält f på M <strong>och</strong> som genererar ett nytt skalärfält.<br />
Låt nu V verka på skalärfunktionen f : V [f]. Denna skall då ordna en<br />
vektor till varje punkt på M. Vi vet sedan tidigare att riktiningsderivatan<br />
<strong>för</strong> en funktion (skalär) längs en viss riktning (x1 , x2 , .., xm ) definierad av<br />
µ ∂f<br />
x ∂x µ (R → R). Detta ger oss en god ledning <strong>för</strong> definition <strong>och</strong> tolkning av<br />
vektorfält. Analogt kan vi nu definiera tensorfält.<br />
5.2.5 Tensorfält<br />
Precis som med skalärfält <strong>och</strong> vektorfält kan man bilda tensorfält. Ett<br />
skalärfält ger en skalär till varje punkt på vår mångfald - ett exempel på<br />
detta är en höjdkarta. Till varje punkt på jordytan ger den ett tal som anger<br />
till exempel hur högt över havet punkten befinner sig.<br />
Definition 5.5. Ett skalärfält på ett område U är en distribution f :<br />
U → R. Ibland begränsar man sig till funktion enbart, <strong>och</strong> man kan tillåta<br />
komplexvärda distributioner också.<br />
Analogt är ett vektorfält något som <strong>för</strong> varje punkt på en mångfald ger en<br />
vektor, vilket i linje med <strong>för</strong>klaringen av skalärfält ger oss exemplet radarbild<br />
vilken <strong>för</strong> varje punkt visar vindriktning <strong>och</strong> styrka med en pil.<br />
Definition 5.6. Ett vektorfält på en mångfald M är en avbildning X som<br />
tilldelar varje punkt på mångfalden en vektor. X : M → TpM, ∀p ∈ M.<br />
Viktigt att observera är att vi har inga krav på differentierbarhet. Ett<br />
k-gånger differentierbart vektorfält sägs till exempel vara ett C k -vektorfält.<br />
Med detta sagt kommer vi hädanefter enbart att beröra glatta tensorfält<br />
51
Change language