Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Extern derivata
För att kunna införa motsvarigheten av integration på en mångfald måste vi
kunna bilda ett uttryck av typen
w (5.142)
∂R
och vidare vill vi kunna defiera en omvänd operationen till integrering som
till exempel används i sambandet
w = dw (5.143)
∂R
Vi ger därför nu den formella definitionen av den externa derivatan på en
r-form w, betecknad drw:
Definition 5.11 (Extern derivata). Om
så är
R
w = 1
r! wµ1....µrdx µ1 ∧ ... ∧ dx µr (5.144)
drw = 1
r! (∂/∂xν wµ1....µr) dx ν ∧ dx µ1 ∧ ... ∧ dx µr . (5.145)
Man ser att operationen dr på en r-form producerar en (r + 1)-form. Det
finns tre viktiga samband:
i) d(ξ + η) = dξ + dη två r-fomer
ii) d(ξ ∧ η) = dξ ∧ η + (−1) r ξ ∧ η
iii) d(dξ) = 0
där ξ ∈ Ω r (M), η ∈ Ω q (M).
Bevis 5.2 (ii).
d(ξ ∧ η) = d(ξi1...irηj1...jq)dx i1 ∧ ... ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ ... ∧ dx jq =
=
∂ξi1...ir
∂x i ηj1...jq + ξi1...ir
där första termen blir
∂ηj1...jq
∂x i
dx i ∧ dx i1 ∧ ... ∧ dx jq (5.146)
= ∂ξi1...ir
∂x i dxi dx i1 ∧ ... ∧ dx ir ηj1...jqdx j1 ∧ ... ∧ dx jq =
= dξ ∧ η (5.147)
då vi har flyttat in ηj1...jq framför den kilprodukten som η verkar på. För den
∂ηj1 ...jq
andra termen ξi1...ir ∂xi dxi ∧ dxi1 jq
∂ηj1 ...jq
∧ ... ∧ dx kan vi flytta ∂xi 74
dx i ∧ r