Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Figur 5.2: Avbildning mellan mångfalderna: f : M → N
Nu är villkoret att ϕ −1
detta även för ψ1 och ψ2.
Diffeomorfism
2 ϕ1 är C ∞ ⇒ ψ ◦ f ◦ ϕ −1
2 ∈ C∞ . Helt analogt gäller
Det är viktigt att arbeta med avbildningar som har en invers. Avbildningen
ovan R m → R n via ψ◦f ◦ϕ −1 har en invers och då kallas f en diffeomorfism.
Mer formellt skriver vi definitionen
Definition 5.2 (Diffeomorfism). Om f : M → N är en homeomorfism
och om ψ ◦ f ◦ ϕ −1 har en invers, det vill säga att det finns en avbildning
ϕ ◦ f −1 ◦ ψ −1 samt båda är C ∞ kallas f en diffeomorfism. M och N sägs då
vara vara diffeomorfa. Observera att dimM = dimN
5.2 Vektorer, tangentvektorer och tangentplan
5.2.1 Tangentplan: Vektorrum
Vi skall försöka konstruera något som är analogt med tangentplanet i en
punkt på en yta för en godtycklig mångfald vilken är inbäddad i något R n
rum. En inbäddad mångfald innebär att den ligger i ett rum av högre men
godtycklig dimension som till exempel planet i ett R 3 -rum. Vi vet att ‘tangentplan’
för kurvor i R 2 och ytor i R 3 både speglar ytans struktur och
44