Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Hamiltonska vektorfält - mekanik
Vi utgår från fas-rummet (q µ , pµ och definiera tvåformen
w = dpµdq µ
(5.161)
vilken kallas den symplektiska tvåformen. Vi bildar nu enformen θ = q µ dpµ
och därefter dθ = d(q µ dpµ) = dq µ ∧ dpµ, d 2 pµ = 0. Man skriver därför
w = dθ (5.162)
Om vi har en funktion f(q, p) i fasrummet definieras Hamiltonska vektorfältet
som
Xf = ∂f
∂pµ
∂/∂q µ − ∂f
∂/∂pµ
(5.163)
∂q µ
Låter vi nu den inre derivatan ixf verka på w får vi
iXf (dpmu ∧ dq µ
∂f
) = ∂/∂q
∂pµ
µ − ∂f
∂/∂pµ (dpµ ∧ dq
∂q µ µ ) =
= ∂f dpµ
∂pµ dq µ dqµ − ∂f dq
∂pµ
µ
dq µ dpµ − ∂f
∂q µ
dpµ
dq
dpµ
µ + ∂f
∂q µ
dq µ
dpµ
dpµ
men vi har att dpµ
dpµ
har nu fått
(5.164)
= dpµ
dq µ = 0 då både q µ och pµ är oberoende variabler. Vi
iXf
Hamiltons rörelseekvationer är
∂f
= − dpµ −
∂pµ
∂f
∂dq µ dqµ = −df (5.165)
dq µ
dt
dpµ
dt
insätter vi nu detta i (5.163) får vi
∂H
=
∂pµ
∂H
= −
∂q µ
(5.166)
(5.167)
XH = dqµ
dt ∂/∂qµ + dpµ
dt ∂/∂pµ = d/dt (5.168)
som då gäller för en lösning (q µ , pµ). Genom att använda likheten
för ˜ X = XH får man
L˜x(w) = (di ˜ X + i˜xd)w (5.169)
LXH w = d(iXH w) + iXH (dw) = d(iHw) = d(−dH) = −d 2 H = 0 (5.170)
Omvändningen är viktig:
Om det finns LXw = 0 så existerar en hamiltonian så att de hamiltonska
rörelseekvationerna satisfieras av flödet som egenereras av ˜ X. Detta ses från
ovanstående då LXw = d(iXw) = 0, ⇒ Poincaré’s lemma det finns ett
H; H(q, p)
iXw = −dH (5.171)
77