Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

kortfattad och delvis intuitiv beskrivning av hur det kan göras baserad på
Weinberg [12], Hooft [14] och Islam [13]. För en utförligare härledning hänvisar
vi läsaren till Weinberg [12].
Utgångspunkten är den mest allmänna formen för en metrik
ds 2 = gµν(x 0 , x 1 , . . . , x n−1 )dx µ dx ν . (8.6)
Koefficienterna gµν är alltså godtyckliga funktioner av alla koordinater. Vårt
första krav är att universum skall ha fyra dimensioner, n = 4 och gµν =
gµν(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ). Varav en tidslig dimension, med x 0 = t, och tre rumsliga.
Symmetrikravet som leder härifrån till Robertson-Walker metriken brukar
ibland kallas för den kosmologiska principen, vilken säger att universum
är rumsligt homogent och isotropt. Denna princip uppfylls förvånansvärt bra
i alla praktiska observationer av universum. Notera ordet “rumsligt” som innebär
att vi inte ställer krav på att den tidslika delen är homogen och isotrop.
Vi kräver allså en uppdelning av universum i en rumslig del som är homogen
och isotrop och en tidslig som inte nödvändigtvis är det:
ds 2 = f(x 0 )dx 0 dx 0 + hij(x 1 , x 2 , x 3 )dx i dx j
, i = 1, 2, 3. (8.7)
Den rumsliga delen dω 2 = hij(x 1 , x 2 , x 3 )dx i dx j skall alltså vara homogen
och isotrop. Intuitivt så innebär homogenitet att universum är likadan
vart vi än befinner oss, det vill säga att i det stora hela är massfördelningen
densamma överallt. Isotropi innebär att universum ser likadant ut i alla riktningar.
För att göra detta mer formellt använder vi oss av de Killing-vektorer
som vi tog upp tidigare. Vi säger att en mångfald är homogen om det i varje
punkt finns lösningar till Killingekvationen (7.31) som kan kan anta alla
möjliga värden, givet metriken. Ett ekvivalent sätt att yttrycka detta på är
att säga att det finns infinetesimala isometrier som kan translaterar varje
punkt till varje punkt i dess omgivning. Jämför med ekvation (7.30) och
(7.31) på sidan 126. Detta innebär att metriken måste tillåta killingvektorer
Xν = gµνX µ som kan translatera varje punkt x µ till varje punkt x µ + εX µ
utan att metriken ändras.
Isotropi definieras på liknande sätt som att det i varje punkt finns lösningar
till Killingekvationen som inte påverkar x µ men vars derivator ∆µXν
kan anta alla möjliga värden.
Utifrån dessa krav kan vi ta fram en metrik. Weinberg [12] visar att
metriker som är isotropa i varje punkt nödvändigtvis är homogena, att de är
maximalt symmetriska (det vill säga de tillåter 1
2m(m + 1) Killingvektorer)
och att de unikt bestäms av den skalära kurvaturen R och signaturen (antalet
positiva och negativa egenvärden av metriken).
För vår rumslika del dω2 är alla egenvärden positiva. Det går nu att gissa
sig fram till att en maximalt symmetrisk metrik måste ha formen
dω 2 = −A 2
(t) dx i dx i + k(xidxi ) 2
1 − kxixi
(8.8)
137