Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Figur 5.16: En intiutiv visualisering av enhetspartitionen<br />
Notera att vi skriver dx 1 ∧ ... ∧ dx m som dx 1 ...dx m . ϕ är vår vanliga koordinatfunktion<br />
sådan att Ui → R m med inversen ϕ −1 (); R m → Ui. Vi har<br />
nu en definierad integral på en viss karta {Ui, ϕi} med hjälp av Ui <strong>och</strong> ϕi.<br />
Det gäller nu att utvigda integralen över hela M. För att detta skall vara<br />
möjligt måste M vara en differentierbar mångfald som definierat i början<br />
av kapitlet samt det måste finnas en mängd differentierbara funktioner ɛi(p)<br />
vilka uppfyller följande villkor:<br />
i 0 ≤ ɛi(p) ≤ 1<br />
ii ɛi(p) = 0 om p ∈ Ui<br />
iii ɛ1(p) + ɛ2 + ... = 1 <strong>för</strong> varje p ∈ M<br />
ɛ(p) kallas <strong>för</strong> enhetspartitionen. Villkoren ger nu direkt<br />
f(p) = <br />
f(p)ɛi(p) = <br />
fi(p) (5.174)<br />
i<br />
där fi(p) ≡ f(p)ɛi(p) <strong>för</strong>svinner utan<strong>för</strong> Ui enligt ii. Man kan nu definiera<br />
en integral <strong>för</strong> varje fi(p) över Ui. Vi har alltså<br />
i<br />
intMfw = <br />
fi(w) (5.175)<br />
Intiutivt kan man tänka sig ɛi(p) som ”densiteter” på områdena Ui där summan<br />
av bidragen från alla densiteter alltid blir 1. Detta illustreras som området<br />
i mitten i figur 5.16..<br />
79<br />
i